Integrali indefiniti (81350)

[Erunno]

integrale di X per sen alla 4 di X.

e poi trova il valor medio di integrale:

da 1 a X di (t - radice di 3) per arcotangente di 1 su t in dt.

[Sabry_92]

Cercherò di darti delle dritte e poi ci metterai del tuo, vero ?


Per il primo integrale, notando la presenza di un prodotto, si dovrà integrare per parti ma per rendere i conti più accessibili bisogna apportare degli accorgimenti a doc :

1) ricordando la formula di duplicazione del coseno possiamo scrivere :

[math]\sin^2{x}=\frac{1}{2}(1-\cos{2x})[/math]

2) sostituita l'espressione del punto 1), sviluppiamo il quadrato, svolgiamo il prodotto sotto segno di integrale e a quel punto grazie alla linearità degli integrali lo spezziamo nella somma algebrica di tre integrali ;

3) uno banale, un secondo risolvibile facilmente per parti, il terzo risolvibile ricorrendo nuovamente alla formula di duplicazione del coseno dalla quale possiamo scrivere che :

[math]\cos^2{2x}=\frac{1}{2}(\cos{4x}+1)[/math]

4) a quel punto al posto del coseno al quadrato piazzi l'espressione del punto 3) e da ora in poi sono un susseguirsi di integrazioni per parti e calcoli vari, nient'altro di particolarmente impegnativo, solo molto lavoro di calcolo.


La seconda è una funzione integrale che possiamo scrivere come segue :

[math]F(x)=\int_1^x(t-\sqrt{3})\arctan{\frac{1}{t}}\,dt[/math]

1) esegui il prodotto sotto segno di integrale e grazie alla linearità degli integrali lo spezzi nella somma algebrica di due integrali ;

2) entrambi si integrano per parti : il primo derivando l'arcotangente ed integrando "t" mentre il secondo derivando sempre l'arcotangente (questo perché è la funzione più difficile da integrare fra le due !!) ed integrando "1*dt" ;

3) a questo punto otterrai due integrali dove l'integranda è semplicemente una frazione algebrica ;

4) la funzione F(x) la ottieni per il semplice motivo che ogni integrale trattato è "definito" tra 1 ed x ai quali è applicabile il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale ;

5) per concludere il valor medio lo otterrai banalmente dividendo F(x) per (x-1).


Spero di essere stata abbastanza chiara, altrimenti chiedi ;)