Integrali indefiniti

[BlackAngel]

Ciao raga devo risolvere quest'esercizio:

[math]\int{(3x^2+\frac{1}{x^2}+1)^2} dx[/math]

[math]\int{\frac{4x^2-12x+9}{3-2x}} dx[/math]

utilizzando questa regola

[math]\int{x^a} dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C[/math]

Però non ho capito come utilizzarla, potreste spiegarmelo??GRAZIE MILLE IN ANTICIPO!!!!

Aggiunto 2 ore 28 minuti più tardi:

# BIT5 :
Qui hai semplicemente bisogno di ricordare altre 2 cose:

1) l'integrale di una somma e' uguale alla somma degli integrali
2) una frazione del tipo

[math] \frac{a+b+c}{d} [/math]

puo' essere riscritta come

[math] \frac{a}{d} + \frac{b}{d} + \frac{c}{d} [/math]

Detto questo, vediamo il primo:
Sapendo che (quadrato del trinomio)

[math] \( 3x^2 + \frac{1}{x^2} + 1 \) ^2 = 9x^4 + \frac{1}{x^4}+1+6+6x^2+ \frac{2}{x^2} [/math]

Sommi i monomi simili

[math] 9x^4+ \frac{1}{x^4}+7+6x^2+ \frac{2}{x^2} [/math]

E dunque

[math] \int \( 9x^4+ \frac{1}{x^4}+7+6x^2+ \frac{2}{x^2} \) dx [/math]

ovvero

[math] \int 9x^4 dx + \int \frac{1}{x^4} dx + \int 7 dx + \int 6x^2 dx + \int \frac{2}{x^2} dx [/math]

Ricorda ora che

[math] \frac{1}{a^m}=a^{-m} [/math]

e che le costanti possono essere portare fuori dall'operatore di integrale:

Quindi

[math] 9 \int x^4 dx + \int x^{-4} dx + 7 \int dx + 6 \int x^2 dx + 2 \int x^{-2} dx [/math]

Ora ne risolvi uno per volta grazie alla regola da te postata:

[math] 9 \int x^4dx=9 \frac{1}{4+1}x^{(4+1)}+C= \frac95x^5 + C [/math]

Il secondo

[math] \int x^{-4}= \frac{1}{-4+1}x^{-4+1} + C = - \frac13 x^{-3} + C = - \frac{1}{3x^3} + C [/math]

Riesci a continuare tu?

Si ed ottengo

[math]\frac{9x^{5}}{5}-\frac{1}{3x^{3}}+2x^3-\frac{1}{x}[/math]

però l'integrale

[math]7 \int dx[/math]

come lo risolvo??

GRAZIE MILLE ORA E' + CHIARO!! Invece il 2° lo riscrivo come

[math]\int \frac{(3-2x)^2}{3-2x}[/math]

giusto??

OooK riuscito grazie ancora...:)

[BIT5]

Qui hai semplicemente bisogno di ricordare altre 2 cose:

1) l'integrale di una somma e' uguale alla somma degli integrali
2) una frazione del tipo

[math] \frac{a+b+c}{d} [/math]

puo' essere riscritta come

[math] \frac{a}{d} + \frac{b}{d} + \frac{c}{d} [/math]

Detto questo, vediamo il primo:
Sapendo che (quadrato del trinomio)

[math] \( 3x^2 + \frac{1}{x^2} + 1 \) ^2 = 9x^4 + \frac{1}{x^4}+1+6+6x^2+ \frac{2}{x^2} [/math]

Sommi i monomi simili

[math] 9x^4+ \frac{1}{x^4}+7+6x^2+ \frac{2}{x^2} [/math]

E dunque

[math] \int \( 9x^4+ \frac{1}{x^4}+7+6x^2+ \frac{2}{x^2} \) dx [/math]

ovvero

[math] \int 9x^4 dx + \int \frac{1}{x^4} dx + \int 7 dx + \int 6x^2 dx + \int \frac{2}{x^2} dx [/math]

Ricorda ora che

[math] \frac{1}{a^m}=a^{-m} [/math]

e che le costanti possono essere portare fuori dall'operatore di integrale:

Quindi

[math] 9 \int x^4 dx + \int x^{-4} dx + 7 \int dx + 6 \int x^2 dx + 2 \int x^{-2} dx [/math]

Ora ne risolvi uno per volta grazie alla regola da te postata:

[math] 9 \int x^4dx=9 \frac{1}{4+1}x^{(4+1)}+C= \frac95x^5 + C [/math]

Il secondo

[math] \int x^{-4}= \frac{1}{-4+1}x^{-4+1} + C = - \frac13 x^{-3} + C = - \frac{1}{3x^3} + C [/math]

Riesci a continuare tu?

Aggiunto 40 minuti più tardi:

l'integrale di dx e' l'integrale di uno che e' x :)

dove dx ti dice solo qual e' la variabile..

quindi l'integrale di 7dx e' 7x (la cui derivata e' appunto 7)

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Per il secondo, devi semplicemente notare che al numeratore c'e' il quadrato del denominatore cambiato di segno

Raccogli un meno al denominatore (che porti fuori dal segno di integrale) e ti rimane una somma...

Ricordati di moltiplicare poi alla fine il risultato per il meno che hai portato fuori dal'operatore.