Integrali e volumi

bob80
Salve, devo risolvere il seguente problema dove si chiede di calcolare il vollume del solido di rotazione generato dalla parte di piano limitata dalla due parabole di equazione:
- \( y = (x-1)^2 \)
- \( y = -x^2 +2x + 1 \)
in una rotazione completa intorno all'asse \(\displaystyle x \), poi intorno all'asse \(\displaystyle y \), poi intorno all'asse di simmetria delle due parabole.
Già al primo punto (rotazione attorno a \(\displaystyle x \)) ottengo un risultato diverso.
Voi come lo risolvereste?

Risposte
giammaria2
Scrivi come hai svolto il primo punto, così possiamo vedere se e dove hai sbagliato. E' anche richiesto dal regolamento.

bob80
Ok... quindi...
Siccome la seconda funzione nell'intervallo [0,2] è sempre maggiore uguale della prima per calolare il volume intorno all'asse x ho calcolato
\( \pi \int_0^2 (-x^2 +2x + 1 -x^2 +2x -1)^2 \text{d} x \)
risolvendolo anche più volte (il che non esclude errori di calcolo, ma...) ottengo \( \frac{64}{15} \pi \)
ma il risultato del libro è \( \frac{16}{3}\pi \)
Dove sbaglio?! :?

Palliit
Ciao bob80.

Sbagli perchè fai: [tex]\pi \int_{a}^{b}\left [ f(x)-g(x) \right ]^2\mathrm{d}x[/tex], invece di [tex]\pi \int_{a}^{b}\left [ f^2(x)-g^2(x) \right ]\mathrm{d}x[/tex]

Cerca di visualizzare Il solido che ottieni nella rotazione: è quello generato dalla seconda parabola, che ha volume:

[tex]V_1=\pi \int_{0}^{2}(-x^2+2x+1)^2\mathrm{d}x[/tex], con una cavità il cui volume è generato dall'altra parabola: [tex]V_2=\pi \int_{0}^{2}(x-1)^4\mathrm{d}x[/tex];

il volume del solido risultante allora è $V_1$ a cui devi sottrarre il volume della cavità, cioè $V=V_1-V_2$, cioè un calcolo come quello che ti ho indicato all'inizio.

gio73
Ciao bob 80, abbiamo svolto un esercizio simile recentemente e ci siamo accorti che è necessario visualizzare il solido che si ottiene dalla rotazione per non commettere errori banali.
Allora ho provato a svolgere il tuo esercizio, ma i conti mi restano indigesti, vorrei farti osservare però che il solido che ottieni ruotando intorno all'asse x è biconcavo, simmetrico sia rispetto all'asse x sia rispetto alla retta x=1, giusto?
Se lo affetto rispetto a piani perpendicolari all'all'asse x ottengo delle corone circolari la cui area si calcola facendo $S=pi(R^2-r^2)$ ora gli elementini di volume li ottengo moltiplicando la superficie della corona per un piccolissimo incremento dx, ancora bene?
Il mio problema diventa ora capire come scrivere il Raggio maggiore e come scrivere il raggio minore delle mie corone circolari.
$R$ sarà lordinata dlla parabola $y=-x^2+2x+1$
mentre $r$ sarà l'ordinata della parabola $y=(x-1)^2$
l'integrale poi lo farei tra 0 e 1 per poi raddoppiare il risultato visto che il solido è simmetrico rispetto alla retta x=1
dunque alla fine scriverei
$V=2 pi int_0^1((-x^2+2x+1)^2-(x-1)^4)dx$
Ciao Pallit, ho visto ora il tuo intervento, controlli anche il mio procedimento?

bob80
Grazie ragazzi!
Ho capito bene entrambi i procedimenti e ho appena rifatto i conti con il metodo che mi avete suggerito (quello di Palliit mi è sembrato più semplice anche se quello di gio73 (anche se più cervellotico) non fa assolutamente una piega) e ora tutto torna.
Intatti commettevo un errore parecchio grossolano.
Ora provo a eseguire gli altri due punti e se ho problemi continuo con questo post.
Grazie ancora del chiarimento.
Saluti :-)

gio73
Ciao bob, senz'altro ti seguiremo volentieri.

Palliit
Ciao gio73! Direi che non fa una piega.

bob80
Eccomi qui di nuovo per l'ultimo punto e cioè calcolare il volume del solido di rotazione dell'area compresa tra le due curvo attorno all'asse di simmetria delle due parabole.
L'asse è \(\displaystyle x=1 \) e quindi faccio una traslazione delle due parabole per il punto \(\displaystyle O^1(1,0) \)
ottendo quindi:
- \(\displaystyle Y=X^2 \)
- \(\displaystyle Y=-X^2 +2 \)
Dovendo ruotare intorno al nuovo asse \(\displaystyle O^1Y \) scrivo le curve in funzione di \(\displaystyle Y \) e quindi ottengo (vi scrivo direttamente gli archi interessati):
- \(\displaystyle X = \sqrt{Y} \)
- \(\displaystyle X = \sqrt{2-Y} \)
Ora il calcolo del volume in quante parti lo devo dividere?
Ho fatto all'inzio:
\(\displaystyle \pi \int_0^1 \sqrt{2-Y}^2 -\sqrt{Y}^2 \text{d} Y \)
il cui risultato è \(\displaystyle \pi \) e coincide con quello del libro, ma ragionando con un amico abbiamo avuto parecchi dubbi e temiamo che il risultato corretto sia giusto un caso.
Io pensavo quindi a calcolare prima il volume della seconda curva tra 1 e 2 (ora gli intervalli sono in \(\displaystyle Y \), giusto?) poi sommarci il volume del cilindro di raggio 1 e altezza 1 (che in pratica è sotto la parte di volume calcolata prima) e poi sottrarci il volume che si ottiene facendo ruotare la prima curva intorno all'asse \(\displaystyle O^1Y \).
Per esteso diventerebbe:
\(\displaystyle \pi \int_1^2 \sqrt{2-Y}^2 \text{ d} Y + \pi \text{(area cilindro)} - \int_0^1 \sqrt{Y}^2 \text{ d} Y \)
che diventa
\(\displaystyle \pi \int_1^2 2-Y \text{ d} Y + \pi \text{(area cilindro)} - \int_0^1 Y \text{ d} Y \)
Il risultato è OK, ma stavolta il ragionamento mi sembra più logico.
Il primo metodo è corretto?
Quando ruotiamo intorno all'asse \(\displaystyle y \) (oppure \(\displaystyle Y \)) gli intervalli dell'integrale diventano quelli rispetto a \(\displaystyle y \) (oppure \(\displaystyle Y \)), giusto?
Grazie in anticipo :-)

giammaria2
Il primo metodo non è corretto perché intersecando il solido con un piano perpendicolare all'asse si incontra solo una delle due parabole. Data la simmetria, il piano corrispondente alla retta $Y=1$ dimezza il solido; il volume è quindi il doppio di quello della parte sottostante, delimitata dalla rotazione di $Y=X^2$. Quindi
$V=2 pi int_0^1 X^2 dY=2 pi int_0^1 Y dY$
Una piccola critica sulla forma: un punto può essere chiamato $O_1$ (letto O uno) oppure $O'$ (letto O primo) ma non può essere chiamato $O^1$

bob80
La seconda parte invece è corretta?

"giammaria":

Una piccola critica sulla forma: un punto può essere chiamato $O_1$ (letto O uno) oppure $O'$ (letto O primo) ma non può essere chiamato $O^1$

Bastava mettere l'apostrofo per fare l'O primo... :-)

bob80
Ora che lo vedo bene il secondo metodo è errato e forse ho fatto anche qualche errore di conto... va beh... dopo lo riprendo con calma. :smt012

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