Integrali e volumi
Salve, devo risolvere il seguente problema dove si chiede di calcolare il vollume del solido di rotazione generato dalla parte di piano limitata dalla due parabole di equazione:
- \( y = (x-1)^2 \)
- \( y = -x^2 +2x + 1 \)
in una rotazione completa intorno all'asse \(\displaystyle x \), poi intorno all'asse \(\displaystyle y \), poi intorno all'asse di simmetria delle due parabole.
Già al primo punto (rotazione attorno a \(\displaystyle x \)) ottengo un risultato diverso.
Voi come lo risolvereste?
- \( y = (x-1)^2 \)
- \( y = -x^2 +2x + 1 \)
in una rotazione completa intorno all'asse \(\displaystyle x \), poi intorno all'asse \(\displaystyle y \), poi intorno all'asse di simmetria delle due parabole.
Già al primo punto (rotazione attorno a \(\displaystyle x \)) ottengo un risultato diverso.
Voi come lo risolvereste?
Risposte
Scrivi come hai svolto il primo punto, così possiamo vedere se e dove hai sbagliato. E' anche richiesto dal regolamento.
Ok... quindi...
Siccome la seconda funzione nell'intervallo [0,2] è sempre maggiore uguale della prima per calolare il volume intorno all'asse x ho calcolato
\( \pi \int_0^2 (-x^2 +2x + 1 -x^2 +2x -1)^2 \text{d} x \)
risolvendolo anche più volte (il che non esclude errori di calcolo, ma...) ottengo \( \frac{64}{15} \pi \)
ma il risultato del libro è \( \frac{16}{3}\pi \)
Dove sbaglio?!
Siccome la seconda funzione nell'intervallo [0,2] è sempre maggiore uguale della prima per calolare il volume intorno all'asse x ho calcolato
\( \pi \int_0^2 (-x^2 +2x + 1 -x^2 +2x -1)^2 \text{d} x \)
risolvendolo anche più volte (il che non esclude errori di calcolo, ma...) ottengo \( \frac{64}{15} \pi \)
ma il risultato del libro è \( \frac{16}{3}\pi \)
Dove sbaglio?!
Ciao bob80.
Sbagli perchè fai: [tex]\pi \int_{a}^{b}\left [ f(x)-g(x) \right ]^2\mathrm{d}x[/tex], invece di [tex]\pi \int_{a}^{b}\left [ f^2(x)-g^2(x) \right ]\mathrm{d}x[/tex]
Cerca di visualizzare Il solido che ottieni nella rotazione: è quello generato dalla seconda parabola, che ha volume:
[tex]V_1=\pi \int_{0}^{2}(-x^2+2x+1)^2\mathrm{d}x[/tex], con una cavità il cui volume è generato dall'altra parabola: [tex]V_2=\pi \int_{0}^{2}(x-1)^4\mathrm{d}x[/tex];
il volume del solido risultante allora è $V_1$ a cui devi sottrarre il volume della cavità, cioè $V=V_1-V_2$, cioè un calcolo come quello che ti ho indicato all'inizio.
Sbagli perchè fai: [tex]\pi \int_{a}^{b}\left [ f(x)-g(x) \right ]^2\mathrm{d}x[/tex], invece di [tex]\pi \int_{a}^{b}\left [ f^2(x)-g^2(x) \right ]\mathrm{d}x[/tex]
Cerca di visualizzare Il solido che ottieni nella rotazione: è quello generato dalla seconda parabola, che ha volume:
[tex]V_1=\pi \int_{0}^{2}(-x^2+2x+1)^2\mathrm{d}x[/tex], con una cavità il cui volume è generato dall'altra parabola: [tex]V_2=\pi \int_{0}^{2}(x-1)^4\mathrm{d}x[/tex];
il volume del solido risultante allora è $V_1$ a cui devi sottrarre il volume della cavità, cioè $V=V_1-V_2$, cioè un calcolo come quello che ti ho indicato all'inizio.
Ciao bob 80, abbiamo svolto un esercizio simile recentemente e ci siamo accorti che è necessario visualizzare il solido che si ottiene dalla rotazione per non commettere errori banali.
Allora ho provato a svolgere il tuo esercizio, ma i conti mi restano indigesti, vorrei farti osservare però che il solido che ottieni ruotando intorno all'asse x è biconcavo, simmetrico sia rispetto all'asse x sia rispetto alla retta x=1, giusto?
Se lo affetto rispetto a piani perpendicolari all'all'asse x ottengo delle corone circolari la cui area si calcola facendo $S=pi(R^2-r^2)$ ora gli elementini di volume li ottengo moltiplicando la superficie della corona per un piccolissimo incremento dx, ancora bene?
Il mio problema diventa ora capire come scrivere il Raggio maggiore e come scrivere il raggio minore delle mie corone circolari.
$R$ sarà lordinata dlla parabola $y=-x^2+2x+1$
mentre $r$ sarà l'ordinata della parabola $y=(x-1)^2$
l'integrale poi lo farei tra 0 e 1 per poi raddoppiare il risultato visto che il solido è simmetrico rispetto alla retta x=1
dunque alla fine scriverei
$V=2 pi int_0^1((-x^2+2x+1)^2-(x-1)^4)dx$
Ciao Pallit, ho visto ora il tuo intervento, controlli anche il mio procedimento?
Allora ho provato a svolgere il tuo esercizio, ma i conti mi restano indigesti, vorrei farti osservare però che il solido che ottieni ruotando intorno all'asse x è biconcavo, simmetrico sia rispetto all'asse x sia rispetto alla retta x=1, giusto?
Se lo affetto rispetto a piani perpendicolari all'all'asse x ottengo delle corone circolari la cui area si calcola facendo $S=pi(R^2-r^2)$ ora gli elementini di volume li ottengo moltiplicando la superficie della corona per un piccolissimo incremento dx, ancora bene?
Il mio problema diventa ora capire come scrivere il Raggio maggiore e come scrivere il raggio minore delle mie corone circolari.
$R$ sarà lordinata dlla parabola $y=-x^2+2x+1$
mentre $r$ sarà l'ordinata della parabola $y=(x-1)^2$
l'integrale poi lo farei tra 0 e 1 per poi raddoppiare il risultato visto che il solido è simmetrico rispetto alla retta x=1
dunque alla fine scriverei
$V=2 pi int_0^1((-x^2+2x+1)^2-(x-1)^4)dx$
Ciao Pallit, ho visto ora il tuo intervento, controlli anche il mio procedimento?
Grazie ragazzi!
Ho capito bene entrambi i procedimenti e ho appena rifatto i conti con il metodo che mi avete suggerito (quello di Palliit mi è sembrato più semplice anche se quello di gio73 (anche se più cervellotico) non fa assolutamente una piega) e ora tutto torna.
Intatti commettevo un errore parecchio grossolano.
Ora provo a eseguire gli altri due punti e se ho problemi continuo con questo post.
Grazie ancora del chiarimento.
Saluti
Ho capito bene entrambi i procedimenti e ho appena rifatto i conti con il metodo che mi avete suggerito (quello di Palliit mi è sembrato più semplice anche se quello di gio73 (anche se più cervellotico) non fa assolutamente una piega) e ora tutto torna.
Intatti commettevo un errore parecchio grossolano.
Ora provo a eseguire gli altri due punti e se ho problemi continuo con questo post.
Grazie ancora del chiarimento.
Saluti
Ciao bob, senz'altro ti seguiremo volentieri.
Ciao gio73! Direi che non fa una piega.
Eccomi qui di nuovo per l'ultimo punto e cioè calcolare il volume del solido di rotazione dell'area compresa tra le due curvo attorno all'asse di simmetria delle due parabole.
L'asse è \(\displaystyle x=1 \) e quindi faccio una traslazione delle due parabole per il punto \(\displaystyle O^1(1,0) \)
ottendo quindi:
- \(\displaystyle Y=X^2 \)
- \(\displaystyle Y=-X^2 +2 \)
Dovendo ruotare intorno al nuovo asse \(\displaystyle O^1Y \) scrivo le curve in funzione di \(\displaystyle Y \) e quindi ottengo (vi scrivo direttamente gli archi interessati):
- \(\displaystyle X = \sqrt{Y} \)
- \(\displaystyle X = \sqrt{2-Y} \)
Ora il calcolo del volume in quante parti lo devo dividere?
Ho fatto all'inzio:
\(\displaystyle \pi \int_0^1 \sqrt{2-Y}^2 -\sqrt{Y}^2 \text{d} Y \)
il cui risultato è \(\displaystyle \pi \) e coincide con quello del libro, ma ragionando con un amico abbiamo avuto parecchi dubbi e temiamo che il risultato corretto sia giusto un caso.
Io pensavo quindi a calcolare prima il volume della seconda curva tra 1 e 2 (ora gli intervalli sono in \(\displaystyle Y \), giusto?) poi sommarci il volume del cilindro di raggio 1 e altezza 1 (che in pratica è sotto la parte di volume calcolata prima) e poi sottrarci il volume che si ottiene facendo ruotare la prima curva intorno all'asse \(\displaystyle O^1Y \).
Per esteso diventerebbe:
\(\displaystyle \pi \int_1^2 \sqrt{2-Y}^2 \text{ d} Y + \pi \text{(area cilindro)} - \int_0^1 \sqrt{Y}^2 \text{ d} Y \)
che diventa
\(\displaystyle \pi \int_1^2 2-Y \text{ d} Y + \pi \text{(area cilindro)} - \int_0^1 Y \text{ d} Y \)
Il risultato è OK, ma stavolta il ragionamento mi sembra più logico.
Il primo metodo è corretto?
Quando ruotiamo intorno all'asse \(\displaystyle y \) (oppure \(\displaystyle Y \)) gli intervalli dell'integrale diventano quelli rispetto a \(\displaystyle y \) (oppure \(\displaystyle Y \)), giusto?
Grazie in anticipo
L'asse è \(\displaystyle x=1 \) e quindi faccio una traslazione delle due parabole per il punto \(\displaystyle O^1(1,0) \)
ottendo quindi:
- \(\displaystyle Y=X^2 \)
- \(\displaystyle Y=-X^2 +2 \)
Dovendo ruotare intorno al nuovo asse \(\displaystyle O^1Y \) scrivo le curve in funzione di \(\displaystyle Y \) e quindi ottengo (vi scrivo direttamente gli archi interessati):
- \(\displaystyle X = \sqrt{Y} \)
- \(\displaystyle X = \sqrt{2-Y} \)
Ora il calcolo del volume in quante parti lo devo dividere?
Ho fatto all'inzio:
\(\displaystyle \pi \int_0^1 \sqrt{2-Y}^2 -\sqrt{Y}^2 \text{d} Y \)
il cui risultato è \(\displaystyle \pi \) e coincide con quello del libro, ma ragionando con un amico abbiamo avuto parecchi dubbi e temiamo che il risultato corretto sia giusto un caso.
Io pensavo quindi a calcolare prima il volume della seconda curva tra 1 e 2 (ora gli intervalli sono in \(\displaystyle Y \), giusto?) poi sommarci il volume del cilindro di raggio 1 e altezza 1 (che in pratica è sotto la parte di volume calcolata prima) e poi sottrarci il volume che si ottiene facendo ruotare la prima curva intorno all'asse \(\displaystyle O^1Y \).
Per esteso diventerebbe:
\(\displaystyle \pi \int_1^2 \sqrt{2-Y}^2 \text{ d} Y + \pi \text{(area cilindro)} - \int_0^1 \sqrt{Y}^2 \text{ d} Y \)
che diventa
\(\displaystyle \pi \int_1^2 2-Y \text{ d} Y + \pi \text{(area cilindro)} - \int_0^1 Y \text{ d} Y \)
Il risultato è OK, ma stavolta il ragionamento mi sembra più logico.
Il primo metodo è corretto?
Quando ruotiamo intorno all'asse \(\displaystyle y \) (oppure \(\displaystyle Y \)) gli intervalli dell'integrale diventano quelli rispetto a \(\displaystyle y \) (oppure \(\displaystyle Y \)), giusto?
Grazie in anticipo
Il primo metodo non è corretto perché intersecando il solido con un piano perpendicolare all'asse si incontra solo una delle due parabole. Data la simmetria, il piano corrispondente alla retta $Y=1$ dimezza il solido; il volume è quindi il doppio di quello della parte sottostante, delimitata dalla rotazione di $Y=X^2$. Quindi
$V=2 pi int_0^1 X^2 dY=2 pi int_0^1 Y dY$
Una piccola critica sulla forma: un punto può essere chiamato $O_1$ (letto O uno) oppure $O'$ (letto O primo) ma non può essere chiamato $O^1$
$V=2 pi int_0^1 X^2 dY=2 pi int_0^1 Y dY$
Una piccola critica sulla forma: un punto può essere chiamato $O_1$ (letto O uno) oppure $O'$ (letto O primo) ma non può essere chiamato $O^1$
La seconda parte invece è corretta?
Bastava mettere l'apostrofo per fare l'O primo...
"giammaria":
Una piccola critica sulla forma: un punto può essere chiamato $O_1$ (letto O uno) oppure $O'$ (letto O primo) ma non può essere chiamato $O^1$
Bastava mettere l'apostrofo per fare l'O primo...
Ora che lo vedo bene il secondo metodo è errato e forse ho fatto anche qualche errore di conto... va beh... dopo lo riprendo con calma. 
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