Integrali del compito
Ragazzi oggi ho avuto il compito in classe sugli integrali e vi riporto come li ho risolti...sperando sia andato bene
Mi correggete eventuali errori?
$int log(x) dx$
Ho risolto per sostituzione in questo modo
$log x = t$
$x = e^t$
$dx = e^t dt$
$int t * e^t dt$
Così ho integrato per parti facendo
$int t * e^t dt$ $ = t * e^t + int 1 * e^t$
quindi
$t*e^t + e^t$
$e^t(t+1)$
Ritolgo la T e quindi è
$e^(logx)(logx + 1)$
Dopo il compito un mio amico ha detto che bastava integrare per parti sottointendendo 1 a log x...e quindi credo di aver sbagliato...
Secondo
$int e^x/(2-3e^x) dx$
Faccio che il nominatore sia la derivata del denominatore quindi
$-1/3 int -3e^x/(2-3e^x)$ e quindi
$1/3 log |2-3e^x|$
penso di averlo fatto bene
via col prossimo
$int cos^2x dx$
Questo proprio non sapevo come farlo...ho provato a dividerlo in cosx * cosx ma alla fine mi ritrovavo con dover integrare o di nuovo il coseno o il seno al quadrato...
$(5x-1)/(x^2-2x)$
Essendo al denominatore un'equazione di II grado, ho integrato seguendo la regola di scomposzione...
Essendo le 2 soluzioni 2 e 0...
$A/(x-2)+B/(x-0)$
effettuando le varie moltiplicazioni si ottiene
$(Ax +Bx - 2B)/(x^2-2x)$
Raggruppo in
$x(A+B) - 2B$ e quindi tramite sistema
$
${A+B = 5$
${-2B = -1$
Si ottiene A = 9/2 e B = 1/2
Sostituisco e alla fine ho $5logx$
Mi correggete eventuali errori?
$int log(x) dx$
Ho risolto per sostituzione in questo modo
$log x = t$
$x = e^t$
$dx = e^t dt$
$int t * e^t dt$
Così ho integrato per parti facendo
$int t * e^t dt$ $ = t * e^t + int 1 * e^t$
quindi
$t*e^t + e^t$
$e^t(t+1)$
Ritolgo la T e quindi è
$e^(logx)(logx + 1)$
Dopo il compito un mio amico ha detto che bastava integrare per parti sottointendendo 1 a log x...e quindi credo di aver sbagliato...
Secondo
$int e^x/(2-3e^x) dx$
Faccio che il nominatore sia la derivata del denominatore quindi
$-1/3 int -3e^x/(2-3e^x)$ e quindi
$1/3 log |2-3e^x|$
penso di averlo fatto bene
via col prossimo
$int cos^2x dx$
Questo proprio non sapevo come farlo...ho provato a dividerlo in cosx * cosx ma alla fine mi ritrovavo con dover integrare o di nuovo il coseno o il seno al quadrato...
$(5x-1)/(x^2-2x)$
Essendo al denominatore un'equazione di II grado, ho integrato seguendo la regola di scomposzione...
Essendo le 2 soluzioni 2 e 0...
$A/(x-2)+B/(x-0)$
effettuando le varie moltiplicazioni si ottiene
$(Ax +Bx - 2B)/(x^2-2x)$
Raggruppo in
$x(A+B) - 2B$ e quindi tramite sistema
$
${A+B = 5$
${-2B = -1$
Si ottiene A = 9/2 e B = 1/2
Sostituisco e alla fine ho $5logx$
Risposte
Avendo io risolto $log x$ per sostituzione è un errore?
1) Hai sbagliato quando risostituisci $e^t , t$; il conto è corretto
2) Il risultato è col meno e non col più!
3) $cos^2x= cosx*cosx $ e scegli uno dei due come fattore differenziale e integri per parti.
4) Evidenzi 5 al numeratore, poi moltiplichi e dividi per 2, aggiungi e sottrai 2, così da ottenere un integrale che è la derivata del denominatore; il secondo integrale diventa $int (1)/(x^2 - 2x) dx$ che risolto come hai proposto tu da A=-2 e B=0. Quindì si arriva a $4*-2int 1/(x-2) dx $, cioè $-8log|x-2|$
2) Il risultato è col meno e non col più!
3) $cos^2x= cosx*cosx $ e scegli uno dei due come fattore differenziale e integri per parti.
4) Evidenzi 5 al numeratore, poi moltiplichi e dividi per 2, aggiungi e sottrai 2, così da ottenere un integrale che è la derivata del denominatore; il secondo integrale diventa $int (1)/(x^2 - 2x) dx$ che risolto come hai proposto tu da A=-2 e B=0. Quindì si arriva a $4*-2int 1/(x-2) dx $, cioè $-8log|x-2|$
Altro metodo per il 3:
$int cos^2x dx=int(1+cos 2x)/2 dx=1/2(x+1/2 sin 2x)+k$
Per l'esercizio 1 non sono del tutto d'accordo con Daddarius: quando hai integrato per parti hai messo un $+$ al posto del $-$ ed hai dimenticato un $dt$. Quando poi sei tornato alla variabile $x$ non hai fatto veri errori ma non hai notato che $e^(log x)=x$. Analogamente non è un vero errore l'aver fatto una sostituzione inutile ma è certo una pecca.
$int cos^2x dx=int(1+cos 2x)/2 dx=1/2(x+1/2 sin 2x)+k$
Per l'esercizio 1 non sono del tutto d'accordo con Daddarius: quando hai integrato per parti hai messo un $+$ al posto del $-$ ed hai dimenticato un $dt$. Quando poi sei tornato alla variabile $x$ non hai fatto veri errori ma non hai notato che $e^(log x)=x$. Analogamente non è un vero errore l'aver fatto una sostituzione inutile ma è certo una pecca.
"Daddarius":
...
Perché riesumare un topic di 5 anni fa? Bah...
Bravo Seneca! Confesso che proprio non avevo guardato la data; in futuro cercherò di farci attenzione.
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