Integrali definiti (Cambi di variabile).
Se io ho il seguente integrale:
$a_m = 1/(pi) int_(0)^(2pi) f(t) cos(m t) dt$
Se facciamo un cambio di variabile dicendo che:
Sia $f_T(t)$ una funzione con periodo $T$; sia $(omega)_n = (2n pi)/(T)$. Allora ponendo $x= (omega)_n t$, come fa a scrivere il seguente integrale???
$a_m = 2/T int_(-T/2)^(T/2) f_T (t) cos ((2m pi t)/(T)) dt$
Il mio problema serio e' come fa ad avere quel $2$ che moltiplica l'integrale?
Che poi non mi e' tanto chiaro nemmeno come mai quegli estremi diventano $-T/2$ e $T/2$ ????????
$a_m = 1/(pi) int_(0)^(2pi) f(t) cos(m t) dt$
Se facciamo un cambio di variabile dicendo che:
Sia $f_T(t)$ una funzione con periodo $T$; sia $(omega)_n = (2n pi)/(T)$. Allora ponendo $x= (omega)_n t$, come fa a scrivere il seguente integrale???
$a_m = 2/T int_(-T/2)^(T/2) f_T (t) cos ((2m pi t)/(T)) dt$
Il mio problema serio e' come fa ad avere quel $2$ che moltiplica l'integrale?
Che poi non mi e' tanto chiaro nemmeno come mai quegli estremi diventano $-T/2$ e $T/2$ ????????
Risposte
cosa c'entra la funzione $f_T$? Non e' chiaro il legame tra $f$ e $f_T$...
si non capisco nemmeno io che cosa vuoi dire... non cambi variabile anche il secondo integrale è in dt... non è chiaro
"Luca.Lussardi":
cosa c'entra la funzione $f_T$? Non e' chiaro il legame tra $f$ e $f_T$...
Si, scusami, alla fine ho chiarito il dubbio....
In sostanza ero intento in fare i cambi di intervallo di integrazione , che portano la conseguenza del cambio di variabile e stavo lavorando con i coefficienti di Fourier.
Sto avendo difficoltà a calcolare il seguente integrale:
$int_(0)^(6pi) sqrt(2e^(-2theta)) d theta$
IO faccio subito in questo modo:
$sqrt(2) int_(0)^(6pi) sqrt(e^(-2theta)) d theta$
$t=-2theta=> dt=-2d theta => -(dt)/(2) = d theta $ e quindi bisogna cambiare anche gli estremi di integrazione, così:
$t=-2theta=> t=-2*0=0$
$t=-2theta=> t=-2*6 pi= -12 pi$
L'integrale diventa:
$-1/2*sqrt(2) int_(0)^(-12 pi) sqrt(e^t) d t$
E adesso come devo continuare???
A me viene di pensare che si tratta dell'integrale fondamentale e quindi si ha:
$-1/2*sqrt(2) [ (e^(t/2))/2]_(0)^(-12 pi)$
Ed arrivo poi a :
$-(sqrt(2))/2 [ (e^((-12 pi)/2))/2 - 1/2] = (sqrt(2))/2 [ 1/2 - (e^(-6 pi))/2 ]$
Come fa il testo a dire che deve essere $sqrt(2) [ 1 - e^(-6 pi) ]$
HELPPPPPPPPP!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
$int_(0)^(6pi) sqrt(2e^(-2theta)) d theta$
IO faccio subito in questo modo:
$sqrt(2) int_(0)^(6pi) sqrt(e^(-2theta)) d theta$
$t=-2theta=> dt=-2d theta => -(dt)/(2) = d theta $ e quindi bisogna cambiare anche gli estremi di integrazione, così:
$t=-2theta=> t=-2*0=0$
$t=-2theta=> t=-2*6 pi= -12 pi$
L'integrale diventa:
$-1/2*sqrt(2) int_(0)^(-12 pi) sqrt(e^t) d t$
E adesso come devo continuare???
A me viene di pensare che si tratta dell'integrale fondamentale e quindi si ha:
$-1/2*sqrt(2) [ (e^(t/2))/2]_(0)^(-12 pi)$
Ed arrivo poi a :
$-(sqrt(2))/2 [ (e^((-12 pi)/2))/2 - 1/2] = (sqrt(2))/2 [ 1/2 - (e^(-6 pi))/2 ]$
Come fa il testo a dire che deve essere $sqrt(2) [ 1 - e^(-6 pi) ]$
HELPPPPPPPPP!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Molto semplice: basta utilizzare le proprietà delle potenze.
$sqrt(e^(-2theta))= (e^(-2theta))^(1/2)= e^(-2theta* 1/2)= e^(-theta)$
Dunque abbiamo $sqrt2 int_{0}^(6pi) e^(-theta) d theta = sqrt2 [-e^(-theta)]_{0}^{6pi}$
$sqrt(e^(-2theta))= (e^(-2theta))^(1/2)= e^(-2theta* 1/2)= e^(-theta)$
Dunque abbiamo $sqrt2 int_{0}^(6pi) e^(-theta) d theta = sqrt2 [-e^(-theta)]_{0}^{6pi}$
E' vero, ho sbagliato perchè $(e^(t/2))/(1/2) = 2e^(t/2)$ 
Grazie mille $gi8$
Grazie mille $gi8$
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