Integrali complicati
Salve a tutti,
sono uno studente privatista e in questi giorni sto affrontando degli esami per essere ammesso alla maturità (è una 5a ITIS Informatica).
La prova di scritta matematica, per la quale mi sentivo ben preparato è stata un disastro; mi sono trovato i seguenti tre integrali indefiniti da risolvere, ma niente, non sono finito da nessuna parte sebbene sia stato in grado di risolvere sempre gli integrali negli esercizi a casa.
Finita la prova ero molto arrabbiato con me stesso, pensavo di aver dimenticato qualcosa, ma tornato a casa, mi sono accorto di non riuscire a farli nemmeno con l'aiuto di libro, appunti, internet; credetemi, ci ho pensato molto prima di postare qui, sono due giorni che provo (e mi arrabbio).
Ok, dopo le dovute premesse, passiamo a questi simpatici integrali:
1) $ int 1/(1 + cosx) dx $
2) $ int root()(3-x^2) dx $
3) $ int (3x + 5)/(x^2+3x+5)dx $
Parlando della numero 1) ho trovato che è un integrale noto:
$ int 1/(1 + cosx) dx = tan(x/2) + c $
Ma non ho la minima idea di come arrivarci.
Per quanto riguarda la 2), ho provato vari tipi di sostituzione e a risolverla per parti moltiplicando per 1 ma questo non mi ha portato da nessuna parte.
Per quanto riguarda la 3), che ha un polinomio con $ Delta < 0 $ al denominatore, riesco ad arrivare fino a un certo punto:
$ int (3x + 5)/(x^2+3x+5)dx = (3/2) int (2x +3)/(x^2+3x+5)dx + (1/2) int 1/(x^2+3x+5)dx $
il primo pezzo chiaramente si riconduce a $ ln|f(x)| + c $ mentre il secondo pezzo che dovrei tentare di ricondurre ad $ arctan|f(x)| + c $, ma mi blocco a questo punto:
$ 3/2ln|x^2+3x+5| + (1/2) int 1/(11/4 + (x + 3/2)^2)dx $
ed è chiaro che quell' 11/4 mi ostacola nel ricondurmi a:
$ int (f'(x))/(1+(f(x))^2)dx = arctan(f(x)) + c $
come procedo?
Grazie mille e scusate ancora per il topic molto lungo
sono uno studente privatista e in questi giorni sto affrontando degli esami per essere ammesso alla maturità (è una 5a ITIS Informatica).
La prova di scritta matematica, per la quale mi sentivo ben preparato è stata un disastro; mi sono trovato i seguenti tre integrali indefiniti da risolvere, ma niente, non sono finito da nessuna parte sebbene sia stato in grado di risolvere sempre gli integrali negli esercizi a casa.
Finita la prova ero molto arrabbiato con me stesso, pensavo di aver dimenticato qualcosa, ma tornato a casa, mi sono accorto di non riuscire a farli nemmeno con l'aiuto di libro, appunti, internet; credetemi, ci ho pensato molto prima di postare qui, sono due giorni che provo (e mi arrabbio).
Ok, dopo le dovute premesse, passiamo a questi simpatici integrali:
1) $ int 1/(1 + cosx) dx $
2) $ int root()(3-x^2) dx $
3) $ int (3x + 5)/(x^2+3x+5)dx $
Parlando della numero 1) ho trovato che è un integrale noto:
$ int 1/(1 + cosx) dx = tan(x/2) + c $
Ma non ho la minima idea di come arrivarci.
Per quanto riguarda la 2), ho provato vari tipi di sostituzione e a risolverla per parti moltiplicando per 1 ma questo non mi ha portato da nessuna parte.
Per quanto riguarda la 3), che ha un polinomio con $ Delta < 0 $ al denominatore, riesco ad arrivare fino a un certo punto:
$ int (3x + 5)/(x^2+3x+5)dx = (3/2) int (2x +3)/(x^2+3x+5)dx + (1/2) int 1/(x^2+3x+5)dx $
il primo pezzo chiaramente si riconduce a $ ln|f(x)| + c $ mentre il secondo pezzo che dovrei tentare di ricondurre ad $ arctan|f(x)| + c $, ma mi blocco a questo punto:
$ 3/2ln|x^2+3x+5| + (1/2) int 1/(11/4 + (x + 3/2)^2)dx $
ed è chiaro che quell' 11/4 mi ostacola nel ricondurmi a:
$ int (f'(x))/(1+(f(x))^2)dx = arctan(f(x)) + c $
come procedo?
Grazie mille e scusate ancora per il topic molto lungo
Risposte
Ciao e benvenuto sul forum! Se sei d'accordo direi di procedere in ordine.
Partiamo dal primo. Una possibile e veloce soluzione è l'utilizzo delle formule parametriche:
\[\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}\] dove \[t = \tan\frac{x}{2}\] Ricavi quindi che \[dx = \frac{2}{1+t^2}dt\] e l'integrale diventa \[\int{\frac{1}{1+\frac{1-t^2}{1+t^2}}2\frac{1}{1+t^2}\ dt}\] Svolgendo i calcoli ottieni \[\int{\frac{\cancel{1+t^2}}{\cancel{2}}\cancel{2}\frac{1}{\cancel{1+t^2}}\ dt} = \int{dt} = t\] A questo punto ricordiamo che avevamo posto \[t = \tan\frac{x}{2}\] e, aggiungendo una generica costante, abbiamo la soluzione.
Tutto ok? Aspetto conferma e poi procediamo con gli altri.
Partiamo dal primo. Una possibile e veloce soluzione è l'utilizzo delle formule parametriche:
\[\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}\] dove \[t = \tan\frac{x}{2}\] Ricavi quindi che \[dx = \frac{2}{1+t^2}dt\] e l'integrale diventa \[\int{\frac{1}{1+\frac{1-t^2}{1+t^2}}2\frac{1}{1+t^2}\ dt}\] Svolgendo i calcoli ottieni \[\int{\frac{\cancel{1+t^2}}{\cancel{2}}\cancel{2}\frac{1}{\cancel{1+t^2}}\ dt} = \int{dt} = t\] A questo punto ricordiamo che avevamo posto \[t = \tan\frac{x}{2}\] e, aggiungendo una generica costante, abbiamo la soluzione.
Tutto ok? Aspetto conferma e poi procediamo con gli altri.
Ciao minomic,
innanzitutto grazie mille! Non conoscevo le formule parametriche , vedrò di studiarle bene (martedì
ho l'orale, dove potrei sperare di recuperare il voto pessimo delli scritto)!
L'unica cosa che non mi è chiara ora è come hai fatto a ricavare $ dx = 2/(1+t^2) $
innanzitutto grazie mille! Non conoscevo le formule parametriche
, vedrò di studiarle bene (martedì ho l'orale, dove potrei sperare di recuperare il voto pessimo delli scritto)!
L'unica cosa che non mi è chiara ora è come hai fatto a ricavare $ dx = 2/(1+t^2) $
Se poni $t = tan (x/2)$ allora $x/2 = arctan t$. Di conseguenza $x = 2arctan t$. Quindi \[\frac{dx}{dt} = 2\frac{1}{1+t^2}\] In conclusione \[dx = 2\frac{1}{1+t^2}\ dt\] Questo è un passo fondamentale della tecnica di sostituzione e riguarda il cambiamento del differenziale (detto malissimo ma il concetto c'è... 
)
)
Dato che il secondo è un po' lungo mi sono messo avanti con i lavori e intanto ho scritto la soluzione.
Dunque abbiamo \[\int{\sqrt{3-x^2}\ dx}\] Questo genere di integrali va ricondotto alla goniometria, e in particolare alla famosa identità fondamentale \[\sin^2 x + \cos^2 x = 1\] Innanzitutto facciamo comparire quell'$1$, raccogliendo un $3$ sotto radice e portandolo fuori.
Abbiamo quindi \[\sqrt{3}\int{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2}\ dx}\] Poniamo ora \[\frac{x}{\sqrt{3}} = \sin t\] Ricaviamo \[x = \sqrt{3}\sin t\] da cui \[dx = \sqrt{3}\cos t\ dt\] L'integrale diventa quindi \[\sqrt{3}\int{\sqrt{1-\sin^2 t}\sqrt{3}\cos t\ dt}\] Il \(\sqrt{3}\) può essere portato fuori dall'integrale; inoltre \(\sqrt{1-\sin^2 t} = \cos t\). Quindi l'integrale diventa \[3\int{\cos^2 t\ dt}\] Ora questo è un integrale piuttosto famoso, anche perché sembra molto semplice mentre invece nasconde qualche complicazione. Il modo, secondo me, più rapido di risolverlo è ricordare una delle tre forme della formula di duplicazione del coseno: \[\cos 2t = 2\cos^2 t - 1\] da cui si ottiene \[\cos^2 t = \frac{\cos 2t + 1}{2}\] Quindi il nostro integrale è diventato \[\frac{3}{2}\int{\left(\cos 2t + 1\right)\ dt}\]
Possiamo naturalmente spezzare e ottenere \[\frac{3}{2}\int{\cos 2t\ dt} + \frac{3}{2}\int{dt}\] Ora finalmente lo sappiamo risolvere: \[\frac{3}{2}\frac{\sin 2t}{2} + \frac{3}{2}t\] A questo punto dobbiamo "ritornare alle \(x\)"... Ricordiamo che \[\frac{x}{\sqrt{3}} = \sin t\] da cui \[t = \arcsin \frac{x}{\sqrt{3}}\] Inoltre \[\sin 2t = 2\sin t\cos t\] e \[\cos t = \sqrt{1-\sin^2 t} = \sqrt{1-\frac{x^2}{3}} = \sqrt{\frac{3-x^2}{3}}\] In conclusione la nostra soluzione diventa \[\frac{3}{4}\ 2\ \frac{x}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{3-x^2}{3}} + \frac{3}{2}\arcsin\frac{x}{\sqrt{3}}\] Volendo semplificare qualcosa possiamo ottenere \[\frac{\sqrt{3}}{2}\ x\ \sqrt{\frac{3-x^2}{3}} + \frac{3}{2}\arcsin\frac{x}{\sqrt{3}}\] Ora possiamo portare il primo \(\sqrt{3}\) dentro la radice grande: \[\frac{x}{2}\sqrt{3-x^2} + \frac{3}{2}\arcsin\frac{x}{\sqrt{3}}\] e questa è la conclusione.
Dunque abbiamo \[\int{\sqrt{3-x^2}\ dx}\] Questo genere di integrali va ricondotto alla goniometria, e in particolare alla famosa identità fondamentale \[\sin^2 x + \cos^2 x = 1\] Innanzitutto facciamo comparire quell'$1$, raccogliendo un $3$ sotto radice e portandolo fuori.
Abbiamo quindi \[\sqrt{3}\int{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2}\ dx}\] Poniamo ora \[\frac{x}{\sqrt{3}} = \sin t\] Ricaviamo \[x = \sqrt{3}\sin t\] da cui \[dx = \sqrt{3}\cos t\ dt\] L'integrale diventa quindi \[\sqrt{3}\int{\sqrt{1-\sin^2 t}\sqrt{3}\cos t\ dt}\] Il \(\sqrt{3}\) può essere portato fuori dall'integrale; inoltre \(\sqrt{1-\sin^2 t} = \cos t\). Quindi l'integrale diventa \[3\int{\cos^2 t\ dt}\] Ora questo è un integrale piuttosto famoso, anche perché sembra molto semplice mentre invece nasconde qualche complicazione. Il modo, secondo me, più rapido di risolverlo è ricordare una delle tre forme della formula di duplicazione del coseno: \[\cos 2t = 2\cos^2 t - 1\] da cui si ottiene \[\cos^2 t = \frac{\cos 2t + 1}{2}\] Quindi il nostro integrale è diventato \[\frac{3}{2}\int{\left(\cos 2t + 1\right)\ dt}\]
Possiamo naturalmente spezzare e ottenere \[\frac{3}{2}\int{\cos 2t\ dt} + \frac{3}{2}\int{dt}\] Ora finalmente lo sappiamo risolvere: \[\frac{3}{2}\frac{\sin 2t}{2} + \frac{3}{2}t\] A questo punto dobbiamo "ritornare alle \(x\)"... Ricordiamo che \[\frac{x}{\sqrt{3}} = \sin t\] da cui \[t = \arcsin \frac{x}{\sqrt{3}}\] Inoltre \[\sin 2t = 2\sin t\cos t\] e \[\cos t = \sqrt{1-\sin^2 t} = \sqrt{1-\frac{x^2}{3}} = \sqrt{\frac{3-x^2}{3}}\] In conclusione la nostra soluzione diventa \[\frac{3}{4}\ 2\ \frac{x}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{3-x^2}{3}} + \frac{3}{2}\arcsin\frac{x}{\sqrt{3}}\] Volendo semplificare qualcosa possiamo ottenere \[\frac{\sqrt{3}}{2}\ x\ \sqrt{\frac{3-x^2}{3}} + \frac{3}{2}\arcsin\frac{x}{\sqrt{3}}\] Ora possiamo portare il primo \(\sqrt{3}\) dentro la radice grande: \[\frac{x}{2}\sqrt{3-x^2} + \frac{3}{2}\arcsin\frac{x}{\sqrt{3}}\] e questa è la conclusione.
"minomic":
Se poni $t = tan (x/2)$ allora $x/2 = arctan t$. Di conseguenza $x = 2arctan t$. Quindi \[\frac{dx}{dt} = 2\frac{1}{1+t^2}\] In conclusione \[dx = 2\frac{1}{1+t^2}\ dt\]
Perfetto grazie
Ora è tutto chiaro! Stavo andando a sostituire la cosa sbagliata infilandomi in un cul-de-sac.
Questo esercizio mi sembra capito, riproverò a farlo questa sera a mente fredda per vedere se ho assimilato bene questi concetti!
Intanto ho postato anche la soluzione del secondo. 
Mitico! Avevo pensato di dovermi ricondurre all'identità fondamentale della goniometria, ma tra il dire e il fare...
È tutto molto chiaro ora!
Mi rendo conto di avere delle lacune su argomenti che sono precedenti e necessari per gli integrali
È tutto molto chiaro ora!
Mi rendo conto di avere delle lacune su argomenti che sono precedenti e necessari per gli integrali
Bene, mi fa piacere che sia chiaro!
Per quanto riguarda il terzo, direi che quello che hai fatto è giusto. Per proseguire puoi raccogliere $11/4$ al denominatore, in modo da avere quell'$1$ che ti serve.
PS. Nel logaritmo non serve il valore assoluto, dato che il $Delta$ del trinomio è negativo. Quando questo accade, il trinomio segue il segno del primo coefficiente. Essendo questo positivo, il trinomio sarà sempre positivo.
Per quanto riguarda il terzo, direi che quello che hai fatto è giusto. Per proseguire puoi raccogliere $11/4$ al denominatore, in modo da avere quell'$1$ che ti serve.
PS. Nel logaritmo non serve il valore assoluto, dato che il $Delta$ del trinomio è negativo. Quando questo accade, il trinomio segue il segno del primo coefficiente. Essendo questo positivo, il trinomio sarà sempre positivo.
Grazie minomic!
È proprio questa la parte che mi da difficoltà; le famose lacune di cui ti parlavo; non ti chiedo di farmi vedere come si fa passaggio per passaggio ma, non è che potresti passare un link che spieghi questo genere di operazione? Immagino che per te possa sembrare la cosa più banale del mondo, io invece ci ho lottato tutto ieri sera senza risultati!
Mi piacerebbe capire bene
"minomic":
Per quanto riguarda il terzo, direi che quello che hai fatto è giusto. Per proseguire puoi raccogliere $ 11/4 $ al denominatore, in modo da avere quell'$ 1 $ che ti serve.
È proprio questa la parte che mi da difficoltà; le famose lacune di cui ti parlavo; non ti chiedo di farmi vedere come si fa passaggio per passaggio ma, non è che potresti passare un link che spieghi questo genere di operazione? Immagino che per te possa sembrare la cosa più banale del mondo, io invece ci ho lottato tutto ieri sera senza risultati!
Mi piacerebbe capire bene
Ciao, forse la cosa migliore è mostrare il procedimento completo di tutti i commenti e le spiegazioni.
Considero solo l'integrale che ti dà problemi, cioè \[\int{\frac{1}{x^2+3x+5}\ dx}\] Giustamente tu lo hai riscritto come \[\int{\frac{1}{\frac{11}{4} + \left(x+\frac{3}{2}\right)^2}\ dx}\] Ora vuoi sfruttare la formula \[\int{\frac{f'(x)}{1+\left[f(x)\right]^2}\ dx} = \arctan f(x)\] quindi ti serve per prima cosa quell'$1$ a denominatore. Raccogliamo $11/4$ a denominatore e l'integrale diventa \[\int{\frac{1}{\frac{11}{4}\left(1+\frac{4\left(x+\frac{3}{2}\right)^2}{11}\right)}\ dx}\] Quell'$11/4$ a denominatore può essere portato fuori. Inoltre scriviamo l'addendo dopo l'$1$ come un unico quadrato. L'integrale diventa \[\frac{4}{11}\ \int{\frac{1}{1+\left(\frac{2x+3}{\sqrt{11}}\right)^2}\ dx}\] Ora al numeratore abbiamo bisogno della derivata di \[\frac{2x+3}{\sqrt{11}}\] che è $2/sqrt(11)$. Quindi possiamo riscrivere tutto come \[ \frac{2\sqrt{11}}{11} \int{\frac{\frac{2}{\sqrt{11}}}{1+\left(\frac{2x+3}{\sqrt{11}}\right)^2}\ dx}\] E ora possiamo finalmente dire che la soluzione è \[\frac{2\sqrt{11}}{11} \arctan\left(\frac{2x+3}{\sqrt{11}}\right)\]
Considero solo l'integrale che ti dà problemi, cioè \[\int{\frac{1}{x^2+3x+5}\ dx}\] Giustamente tu lo hai riscritto come \[\int{\frac{1}{\frac{11}{4} + \left(x+\frac{3}{2}\right)^2}\ dx}\] Ora vuoi sfruttare la formula \[\int{\frac{f'(x)}{1+\left[f(x)\right]^2}\ dx} = \arctan f(x)\] quindi ti serve per prima cosa quell'$1$ a denominatore. Raccogliamo $11/4$ a denominatore e l'integrale diventa \[\int{\frac{1}{\frac{11}{4}\left(1+\frac{4\left(x+\frac{3}{2}\right)^2}{11}\right)}\ dx}\] Quell'$11/4$ a denominatore può essere portato fuori. Inoltre scriviamo l'addendo dopo l'$1$ come un unico quadrato. L'integrale diventa \[\frac{4}{11}\ \int{\frac{1}{1+\left(\frac{2x+3}{\sqrt{11}}\right)^2}\ dx}\] Ora al numeratore abbiamo bisogno della derivata di \[\frac{2x+3}{\sqrt{11}}\] che è $2/sqrt(11)$. Quindi possiamo riscrivere tutto come \[ \frac{2\sqrt{11}}{11} \int{\frac{\frac{2}{\sqrt{11}}}{1+\left(\frac{2x+3}{\sqrt{11}}\right)^2}\ dx}\] E ora possiamo finalmente dire che la soluzione è \[\frac{2\sqrt{11}}{11} \arctan\left(\frac{2x+3}{\sqrt{11}}\right)\]
Ti propongo un metodo alternativo alternativo (anche se in sostanza è la stessa cosa).
Con la sostituzione $x+3/2=sqrt(11/4)*t$ il tuo ultimo integrale diventa
$int(sqrt(11/4)dt)/(11/4(1+t^2))=sqrt(4/11)arctant+c$
Dalla sostituzione ricavi $t=(2x+3)/sqrt11$ e quindi concludi con
$=2/sqrt11arctan frac(2x+3) sqrt11 +c$
Con la sostituzione $x+3/2=sqrt(11/4)*t$ il tuo ultimo integrale diventa
$int(sqrt(11/4)dt)/(11/4(1+t^2))=sqrt(4/11)arctant+c$
Dalla sostituzione ricavi $t=(2x+3)/sqrt11$ e quindi concludi con
$=2/sqrt11arctan frac(2x+3) sqrt11 +c$
"minomic":
Raccogliamo $11/4$ a denominatore e l'integrale diventa \[\int{\frac{1}{\frac{11}{4}\left(1+\frac{4\left(x+\frac{3}{2}\right)^2}{11}\right)}\ dx}\]
Grandissimo, grazie! Dopo questo passo ho tentato di continuare da solo e ho finito per risolverlo nello stesso modo suggerito da giammaria (un sentito ringraziamento anche a lui chiaramente!
) Sono abbastanza soddisfatto di esserci riuscito alla fine!
Dunque riassumendo:
$ int (3x+5)/(x^2+3x+5) dx = 3/2 ln(x^2+3x+5) + 1/sqrt(11) arctan((2x+3)/sqrt(11)) + c $
Ciao,
hai dimenticato $1/2$ che moltiplicava il secondo integrale. Quindi il risultato diventa $... + 1/sqrt(11)...$
Per il resto benissimo.
hai dimenticato $1/2$ che moltiplicava il secondo integrale. Quindi il risultato diventa $... + 1/sqrt(11)...$
Per il resto benissimo.
Caspita hai ragione Ho corretto
Direi che questo integrale è stato capito, ed anche il numero 2; l'ho rifatto sta mattina senza problemi Più tardi provo anche con il primo, così quando ho capito tutti e tre mi metto a cercarne di simili da risolvere, che martedì è il giorno dell'orale (Peccato che ho anche tutte le altre materie da ripassare 
)
Ho corretto Direi che questo integrale è stato capito, ed anche il numero 2; l'ho rifatto sta mattina senza problemi
Più tardi provo anche con il primo, così quando ho capito tutti e tre mi metto a cercarne di simili da risolvere, che martedì è il giorno dell'orale (Peccato che ho anche tutte le altre materie da ripassare )
Benissimo, per altri problemi siamo qui!
Oltre che con le parametriche, il primo può essere risolto anche con la formula di bisezione
$cos^2 frac x 2=(1+cosx)/2" " ->" "1+cosx=2cos^2 frac x 2$
L'integrale quindi diventa
$int(dx)/(2cos^2 frac x 2)=$\(\displaystyle \frac 1{\cancel2}*{\cancel2}\tan{ \frac x 2+c} \)
$cos^2 frac x 2=(1+cosx)/2" " ->" "1+cosx=2cos^2 frac x 2$
L'integrale quindi diventa
$int(dx)/(2cos^2 frac x 2)=$\(\displaystyle \frac 1{\cancel2}*{\cancel2}\tan{ \frac x 2+c} \)
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