Integrali

[sssebi]

Ho parecchi dubbi sugli integrali per il compito in classe di Giovedì, spero in una vostra mano d'aiuto. Cominciamo col primo, integrali per sostituzione:

$ int (xsqrt(x))/(1+x) dx $

Il libro mi dice di porre $ sqrt(x) = t $

Quindi con la sostituzione mi risulta:

$ int (2t^4)/(1+t^2) dt $

Però a questo punto mi fermo. O ci sarà qualche regola d'integrazione che non ho ancora studiato oppure non mi sta proprio venendo in mente il procedimento...

[Gi81]

Beh puoi vedere $2t^4$ come $2t^4+2t^2-2t^2$ che diventa
$2t^2(t^2+1) -2t^2$ ... grazie a questo risultato puoi spezzare il tuo integrale in 2 integrali più semplici

[adaBTTLS1]

eseguendo la divisione, quoziente e resto, il nuovo radicando diventa: $2t^2-2+2/(t^2+1)$. semplice ora?

[sssebi]

Certo che ora è semplice. Però ci vuole parecchia logica, come siete riusciti a pensare in quel modo il numeratore?
Cioè bisogna vedere il denominatore e cercare in qualche modo di rendere il numeratore in modo da poterlo semplificare con esso, non sempre risulta cosa semplice.

[adaBTTLS1]

il metodo è standard: quando si ha un'espressione razionale, se la frazione ha il numeratore di grado maggiore o uguale al denominatore, si procede prima alla divisione.

[sssebi]

Capisco, infatti in molti casi il metodo sta funzionando, ma in alcuni proprio non mi viene, ad esempio in questo:

$ int 1/(x(log^2x+4logx+5)) dx $

Pongo $ logx = t $ e mi viene questo risultato:

$ int 1/(t^2+4t+5) dt $

Non riesco a combinare niente in quel numeratore per fare in modo da risultarmi più semplice!

[@melia]

È una razionale fratta con $Delta<0$, quindi da trasformare nella forma $h^2+1$ e da risolvere con l'arctg
infatti $t^2+4t+5=(t+2)^2+1$

[sssebi]

Ah ecco, questa del delta minore di zero non la sapevo. Bene, grazie, ora sì che mi risultano tutte, però sul calcolo degli integrali definiti c'è qualcosa che mi lascia perplesso, sicuramente sbaglio il metodo, intanto ve lo mostro:

$ int_(0)^(2) sqrt(1+x^2) dx $

Fin qui siamo sicuri che è giusto perchè è il testo ... Da adesso però non so se c'è qualcosa di giusto su quello che ho combinato:

$ int_(0)^(2) (1+x^2)^(1/2) dx $

Poi ho cercato di crearmi un $ 2x $ e quindi:

$ int_(0)^(2) 1/(2x) 2x (1+x^2)^(1/2) dx $

Adesso però mi serve un $ 2 $ e allora:

$ 1/2 int_(0)^(2) 1/x 2x (1+x^2)^(1/2) dx $

Ora iniziano i dubbi: dividendo gli integrali, nel primo caso mi risulta il log, ma come posso considerarlo se ha l'argomento zero? E poi, è giusto dividere gli integrali? Ma soprattutto, va bene il procedimento fin qui?

[@melia]

Non mi pare una strada percorribile, comunque ti comunico che è un integrale particolarmente complicato, anche se non sembra.
Credo che la via più semplice sia quella di sostituire $sqrt(x^2+1)=x+t$ dopo aver elevato alla seconda, prima ti ricavi $x$ e poi $dx$ e dopo molti calcoli ottieni
$int sqrt(x^2+1) dx=x*sqrt(x^2+1)/2+1/2ln(x+sqrt(x^2+1))+c