Integrali
da poco abbiamo iniziato a trattare gli integrali..Ho difficoltà con quelli di questo tipo:
$intx(x^2+1)^3dx$
$intx(x^2+1)^3dx$
Risposte
Puoi scriverlo come $\frac{1}{2} \int 2x(x^2+1)^3 dx$, e ora è immediato, perché $2x$ è la derivata di $x^2+1$.
Al limite ci sarebbe anche la soluzione brute force, ma non avrebbe veramente senso...
Al limite ci sarebbe anche la soluzione brute force, ma non avrebbe veramente senso...
scusami ma non so proseguire perchè di regole in questo caso ne abbiamo fatta una e cioè che quando il numeratore è derivata del numeratore si ha come risultato il logaritmo della funzione al denominatore + c
Avete fatto questa?
$\int f'(x) f^n(x) dx = \frac{f^{n+1}(x)}{n+1} + c$
Ovviamente per $n \ne -1$.
$\int f'(x) f^n(x) dx = \frac{f^{n+1}(x)}{n+1} + c$
Ovviamente per $n \ne -1$.
no,non l'abbiamo fatta
Comunque ti torna che la derivata di $\frac{f^{n+1}(x)}{n+1} + c$ sia $f^{n}(x) f'(x)$?
non lo so,so solo che il prof disse che sarebbe venuta tranquillamente con degli artifici..poi boh..il fatto è che ci sono molti esercizi di questo tipo e domani ho l'interrogazione..
Le derivate le avete fatte, se derivi $\frac{f^{n+1}(x)}{n+1}$ ottieni $\frac{1}{n+1} (n+1) f^{n+1-1}(x) f'(x)$, cioè $f^n(x) f'(x)$, ok?
si ho capito pero forse saro tanto stupida da non capire come svolgere questo esercizio..(senza la tua regola ovviamente)
Se ti torna che la derivata di $\frac{f^{n+1}(x)}{n+1}+c$ è $f^n f'(x)$, allora ti tornarà anche che l'insieme delle primitive di $f^n(x) f'(x)$ è $\frac{f^{n+1}(x)}{n+1}+c$, cioè
$\int f^n(x) f'(x) dx = \frac{f^{n+1}(x)}{n+1}+c$
Nel tuo caso $f(x) = x^2 + 1$, $n=3$, $f'(x) = 2x$, quindi il risultato è $\frac{1}{2} \frac{(x^2+1)^4}{4} + c$
$\int f^n(x) f'(x) dx = \frac{f^{n+1}(x)}{n+1}+c$
Nel tuo caso $f(x) = x^2 + 1$, $n=3$, $f'(x) = 2x$, quindi il risultato è $\frac{1}{2} \frac{(x^2+1)^4}{4} + c$
Se lo vuoi svolgere senza questa regola non ti resta altro da fare che svolgere il cubo e le moltiplicazioni, ma non è la soluzione migliore, quella $x$ fuori è messa a posta.
e con questa come devo fare?
$intsen^2xcosxdx$ ?
$intsen^2xcosxdx$ ?
Stessa cosa, $\cos(x)$ è la derivata di $\sin(x)$.
Oppure per sostituzione $sinx=t$, $cosxdx=dt$. E' solo un caso particolare della primo formula di Tipper, ma forse e' piu' comprensibile per lei.
Sì, ma non penso abbia fatto le sostituzioni...
si abbiamo accennato alle sostituzioni ma niente di che..
quindi se voglio operare per sostituzione verrebbe:
$senx=t$
$cosx dx=dt$
$dx=(dt)/cosx$
$t^2(dt)/cosx=t^3/(3cosx)$
e poi?
quindi se voglio operare per sostituzione verrebbe:
$senx=t$
$cosx dx=dt$
$dx=(dt)/cosx$
$t^2(dt)/cosx=t^3/(3cosx)$
e poi?
Se avete accennato le sostituzioni meglio, quando scrivi $dt = \cos(x)dx$, non devi ricavare $dx$, ma nell'integrale, al posto di $\cos(x)dx$, metti $dt$.
ok grazie infinitamente,ho fatto dinuovo la prima che avevo postato con la sostituzione cosi non opero con la formula che dicevi tu..grazie!
cos'è la soluzione brute force?
Con brute force volevo solo dire che era possibile risolvere quell'integrale sviluppando il cubo e facendo tutti i prodotti. Non è un termine matematico, sta solo per forza bruta...
avrei un altro integrale che non so risolvere :
$int (e^x/sqrt(1-e^(2x)) dx$
help
$int (e^x/sqrt(1-e^(2x)) dx$
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