Integrale:`intsqrt(1-x^2)dx`

[vanpic]

Non riesco a risolvere questo integrale indefinito:

`intsqrt(1-x^2)dx`

Ho provato con il metodo di sostituzione, ma... niente.
Potreste darmi un suggerimento? Oppure la primitiva di `sqrt(1-x^2)`non esiste proprio?
Grazie.

[gugo82]

Visto che l'insieme della funzione integranda è $-1<=x<=1$, una scelta saggia è fare la sostituzione $x=sin t$, con $-pi/2<=t<=pi/2$.
Prova; sono sicuro che non te ne pentirai.

[adaBTTLS1]

è il tipico esempio da risolvere con la sostituzione $x=sint$. prova e facci sapere. ciao.

EDIT: sono arrivata tardi...

[vanpic]

Grazie per l'aiuto.Ho provato:

`intsqrt(1-x^2)dx`,ponendo `x=sint hArr dx=costdt`

`intsqrt(1-x^2)dx =intcos^2tdt`

Con la formula di duplicazione `cos(2t)=2cos^2t-1 hArr cos^2t=cos(2t)/2+1/2`

`intcos^2tdt=1/2intcos2t+1/2intdt=1/4sin2t+1/2t+c=1/2sintcost+1/2t+c=1/2(sintcost+t)+c`

Ora, sempre che fin qui vada bene, come posso sostituire la variabile `x` alla variabile `t` essendoci `cost`?

[adaBTTLS1]

$t=arcsinx$, $sint=x$, $cost=sqrt(1-x^2)$ ...

[gugo82]

Visto che $sin t$ è invertibile in $[-pi/2,pi/2]$, da $x=sin t$ ricavi $t=arcsin x$; inoltre visto che per $-pi/2<=t<=pi/2$ si ha $cos t>=0$, dalla relazione fondamentale $cos^2t+sin^2t=1$ ricavi $cos t=\sqrt(1-sin^2t)=\sqrt(1-x^2)$.

Quindi, mettendo tutto insieme, trovi:

$\int \sqrt(1-x^2)" d"x=1/2(x \sqrt(1-x^2)+arcsin x)+c \quad$.


EDIT: stavolta ho fatto tardi io...
EDIT2: grazie Steven.

[Steven11]

"Gugo82": ricavi $t=arcsin t$

$t=arcsin x$

[vanpic]

...Certo...giusto!
Infatti:

`D[1/2(xsqrt(1-x^2)+arcsinx)+c]=sqrt(1-x^2)`

[Frasandro]

"vanpic":Grazie per l'aiuto.Ho provato:

`intsqrt(1-x^2)dx`,ponendo `x=sint hArr dx=costdt`

`intsqrt(1-x^2)dx =intcos^2tdt`

Con la formula di duplicazione `cos(2t)=2cos^2t-1 hArr cos^2t=cos(2t)/2+1/2`

`intcos^2tdt=1/2intcos2t+1/2intdt=1/4sin2t+1/2t+c=1/2sintcost+1/2t+c=1/2(sintcost+t)+c`

mi sfugge, anzi, non riesco a leggere questo passaggio....

[Frasandro]

"adaBTTLS":è il tipico esempio da risolvere con la sostituzione $x=sint$. prova e facci sapere. ciao.

EDIT: sono arrivata tardi...

con la sostituzione $x=cos(t)$, alla fine il risultato e' diverso... cioe', non c'e' $ arcsin $ bensì $ arccos $ , e' corretto ugualmente? visto che il testo dell'esercizio e' uguale?

[donald_zeka]

Se non hai sbagliato conti allora allora il risultato è chiaramente lo stesso a meno di una costante, infatti $arccosx+arcsinx=pi/2$

[Frasandro]

a me risulta: $\int \sqrt(1-x^2)" d"x=1/2(x \sqrt(1-x^2)-arccos x)+c \quad$

[Lo_zio_Tom]

"Frasandro":a me risulta: $\int \sqrt(1-x^2)" d"x=1/2(x \sqrt(1-x^2)-arccos x)+c \quad$

che è una primitiva equivalente a questa:

"gugo82":

$\int \sqrt(1-x^2)" d"x=1/2(x \sqrt(1-x^2)+arcsin x)+c \quad$.

non ti pare?

[Frasandro]

cioe'? perche' i 2 risultati sono equivalenti?

[igiul1]

"Frasandro":cioe'? perche' i 2 risultati sono equivalenti?

Lo ha spiegato prima Vulplasir

"Vulplasir":Se non hai sbagliato conti allora allora il risultato è chiaramente lo stesso a meno di una costante, infatti $ arccosx+arcsinx=pi/2 $