Integrale:dove sbaglio?
ho iniziato solo oggi ad affrontarle:
non riesco a capire dove sta la mia dimenticanza:
integrale indefinito di ( [1/(1+e^x)] dx)
applico il metodo d sostituzione:
pongo t=1+e^x
quindi dx=dt/e^x
ora viene
integrale indefinito di ( (1/t) (1/e^x) dt)
il tutto viene
log [(1+e^x)/e^x]+C (C=costante)
dove sbaglio???
la soluzione indicatami è
log [(e^x)/(1+e^x)]+C (C=costante)
ho commesso una sciocchezza ma non la trovo
non riesco a capire dove sta la mia dimenticanza:
integrale indefinito di ( [1/(1+e^x)] dx)
applico il metodo d sostituzione:
pongo t=1+e^x
quindi dx=dt/e^x
ora viene
integrale indefinito di ( (1/t) (1/e^x) dt)
il tutto viene
log [(1+e^x)/e^x]+C (C=costante)
dove sbaglio???
la soluzione indicatami è
log [(e^x)/(1+e^x)]+C (C=costante)
ho commesso una sciocchezza ma non la trovo
Risposte
"Pablo":
quindi dx=dt/e^x
Sta qui l'errore.
EDIT: o meglio, partono da qui...
sul fatto che ce ne siano non ci sono dubbi, aspetto chiarimenti....
Esplicita la $x$ in funzione di $t$, poi calcola il differenziale.
non ti seguo...
Tu hai posto $t = e^x + 1$, da cui $x = \ln(t-1)$, quindi $dx = \frac{1}{t - 1} dt$. Sostituisci questi valori nell'integrale, e il gioco è fatto.
la soluzione che ti dà il libro è corretta.. ho controllato sul dwight.. e ha ragione tipper... l'errore sta nel fattore differenziale.. a me viene $ e^x +1 = t -> x= log(t-1) $.. però non lo so.. adesso provo.. poi ti faccio sapere...
Pol
Pol
francesco... per 15 secondi.. mannaggia.. hai vinto tu!!!
"Paolo90":
francesco... per 15 secondi.. mannaggia.. hai vinto tu!!!
Mi sa che ti sbagli, non sono Francesco...
scusa... non volevo scrivere francesco... è stata una imperdonabile svista... si è infilato sul pc mio fratello mentre stavo scrivendo... scusami scusami... 
E di che ti scusi, mica mi hai sparato. 
grazie...
grazie delle risposte
ho capito i vari passaggi ma non riesco a cogliere una differenza
come mai è stata posta la x in funzione della t?
non lo capisco anche per gli altri esercizi che ho fatto
in questo semplice integrale per esempio
integrale indefinito (e^(sin(x))cos(x) dx)
pongo t=sin(x)
e poi
diventa
integrale indefinito (e^(t) dt)
qua pero' non ho posto nessuna x in funzione di t almeno credo altrimenti avrei dovuto
scrivere da qualche parte
x=arcsin(t)
so che è molto grave la cosa ma sono agli inizi
ho capito i vari passaggi ma non riesco a cogliere una differenza
come mai è stata posta la x in funzione della t?
non lo capisco anche per gli altri esercizi che ho fatto
in questo semplice integrale per esempio
integrale indefinito (e^(sin(x))cos(x) dx)
pongo t=sin(x)
e poi
diventa
integrale indefinito (e^(t) dt)
qua pero' non ho posto nessuna x in funzione di t almeno credo altrimenti avrei dovuto
scrivere da qualche parte
x=arcsin(t)
so che è molto grave la cosa ma sono agli inizi
Questo metodo di integrazione si chiama appunto di sostituzione perchè si sostituisce la variabile $x $ con una espressione funzione di $t $ , con l'intento di avere un integrale più semplice da risolvere di quello iniziale.
Si pone $x=x(t) $ scegliendo una trasformazione opportuna che semplifichi la soluzione dell'integrale
poi si calcola $dx = x'(t)*dt $ e si sostituisce nell'integrale iniziale che viene quindi così trasformato :
$int f(x)*dx = int f(x(t))*x'(t)*dt $. Chiaramente la variabile $x $ NON deve più apparire nel "nuovo" integrale .
Nel caso specifico
$int e^(sinx ) *cosx*dx $
si nota che l'integrale è immediato essendo del tipo $int e^f(x)*f'(x)*dx $ e la soluzione è quindi $e^sinx +K .
Volendolo risolvere col metodo di sostituzione si pone
$ t = sinx $ ; in questo caso non è necessario ricavare $x $ in funzione di $t$ .
Infatti differenziando si ottiene : $ dt = cosx*dx $ e quindi è immediato scrivere
$int e^sinx*cosx*dx = int e^t*dt = e^t+K $ etc.
Volendo però arrivare alla forma $x=x(t)$ anche se in questo caso del tutto inutile il metodo "funziona " , si procede così :
$x = arcsint $ e quindi :
$cosx = sqrt(1-t^2)$ ; $dx = dt/sqrt(1-t^2 )$
e infine
$inte^sinx*cosx*dx = inte^t*sqrt(1-t^2)*dt/sqrt(1-t^2) =inte^t*dt = e^t+K $ etc
Si pone $x=x(t) $ scegliendo una trasformazione opportuna che semplifichi la soluzione dell'integrale
poi si calcola $dx = x'(t)*dt $ e si sostituisce nell'integrale iniziale che viene quindi così trasformato :
$int f(x)*dx = int f(x(t))*x'(t)*dt $. Chiaramente la variabile $x $ NON deve più apparire nel "nuovo" integrale .
Nel caso specifico
$int e^(sinx ) *cosx*dx $
si nota che l'integrale è immediato essendo del tipo $int e^f(x)*f'(x)*dx $ e la soluzione è quindi $e^sinx +K .
Volendolo risolvere col metodo di sostituzione si pone
$ t = sinx $ ; in questo caso non è necessario ricavare $x $ in funzione di $t$ .
Infatti differenziando si ottiene : $ dt = cosx*dx $ e quindi è immediato scrivere
$int e^sinx*cosx*dx = int e^t*dt = e^t+K $ etc.
Volendo però arrivare alla forma $x=x(t)$ anche se in questo caso del tutto inutile il metodo "funziona " , si procede così :
$x = arcsint $ e quindi :
$cosx = sqrt(1-t^2)$ ; $dx = dt/sqrt(1-t^2 )$
e infine
$inte^sinx*cosx*dx = inte^t*sqrt(1-t^2)*dt/sqrt(1-t^2) =inte^t*dt = e^t+K $ etc
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