Integrale: primitiva e costante +c
Sera a tutti 
Vorrei poter fugare un duvvio che mi èsorto riguardo gli integrali:
se volessi integrare $\int x-1 dx$ per l'addittività di cui godono gli integrali avrei $=\int x dx \int -1 dx=(x^2-2x)/2+c$
Mi accorgo però che potrei usare anche la regola per integrare una funzione con un esponente $\int y^n dy=y^(n+1)/(n+1)$ con n diverso da 1.
Ma aquesto punto avrei: $\int (x-1)dx$ con f(x)=x-1 avrei $\int (x-1)dx=(x-1)^2/(1+1)+c$ cioé sviluppando in quadrato a numeratore mi troverei con 1/2 in più. Mi chiedevo se questo fosse giustificabile dicendo che dipende dal +c a cui sommo le primitive.
Vorrei poter fugare un duvvio che mi èsorto riguardo gli integrali:
se volessi integrare $\int x-1 dx$ per l'addittività di cui godono gli integrali avrei $=\int x dx \int -1 dx=(x^2-2x)/2+c$
Mi accorgo però che potrei usare anche la regola per integrare una funzione con un esponente $\int y^n dy=y^(n+1)/(n+1)$ con n diverso da 1.
Ma aquesto punto avrei: $\int (x-1)dx$ con f(x)=x-1 avrei $\int (x-1)dx=(x-1)^2/(1+1)+c$ cioé sviluppando in quadrato a numeratore mi troverei con 1/2 in più. Mi chiedevo se questo fosse giustificabile dicendo che dipende dal +c a cui sommo le primitive.
Risposte
se le derivi vengono la stessa cosa? ovviamente si, quindi sono entrambe primitive.
In genere le primitive differiscono per una costante, quindi se sono uguali a meno di una costante non c'è alcun problema.
pure $x^2/2-x+37128312389210381902$ è ancora una primitiva.
questo accade perchè nella derivazione le costanti spariscono, quindi in genere trovata una primitiva puoi manipolarla aggiungendo costanti come se stessi sommando zero, in quanto per definizione una primitiva è una funzione che derivata ti da quella di partenza, quindi con il 'senno di poi', le costanti puoi abusarle tranquillamente.
la motivazione essenzialmente è che se $F,G:J->RR$ sono primitive di $f:J->RR$ allora basta considerare la funzione $H(x)=F(x)-G(x)$ e derivandola si ottiene
$H'(x)=[F(x)-G(x)]'=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0,forallx in J$
pertanto $H$ è costante per Lagrange e si ottiene $F(x)=G(x)+c$
In genere le primitive differiscono per una costante, quindi se sono uguali a meno di una costante non c'è alcun problema.
pure $x^2/2-x+37128312389210381902$ è ancora una primitiva.
questo accade perchè nella derivazione le costanti spariscono, quindi in genere trovata una primitiva puoi manipolarla aggiungendo costanti come se stessi sommando zero, in quanto per definizione una primitiva è una funzione che derivata ti da quella di partenza, quindi con il 'senno di poi', le costanti puoi abusarle tranquillamente.
la motivazione essenzialmente è che se $F,G:J->RR$ sono primitive di $f:J->RR$ allora basta considerare la funzione $H(x)=F(x)-G(x)$ e derivandola si ottiene
$H'(x)=[F(x)-G(x)]'=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0,forallx in J$
pertanto $H$ è costante per Lagrange e si ottiene $F(x)=G(x)+c$
Era quel che avevo in mente ma spiegato mille volte meglio ed elegantemente.
Sei fantastico, grazie!
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