Integrale poco simpatico.

[giogiomogio]

Sto cercando di risolvere $int (2x^2-1)/(x-x^3) dx$
vi mostro il mio ragionamento, ma sono sicuro che si può fare di meglio e più semplicemente:

allora:
$int (2x^2-1)/(x-x^3) dx = int (2x^2-1)/(x(1-x^2)) dx=int (2x^2-1)/(-x(x+1)(x-1)) dx=int -(2x^2-1)/(x(x+1)(x-1)) dx=$

$=-int (2x^2-1)/(x(x+1)(x-1)) dx$

fino a qua penso di aver fatto tutto correttamente, adesso vi spiego cosa ho pensato di fare:
$-int A/x+B/(x+1)+C/(x-1)dx$
in questo modo posso lavorare di denominatore comune per raggiungere la forma iniziale della frazione giusto?
allora ho pensato di fare cosi:

$-int 1/x+1/(x+1)+1/(x-1)dx$

ho provato a mettere anche dei $-$ e dei $2$ al denominatore ma non riesco mai a ritornare alla forma iniziale della frazione, ho pensato di usare questo metodo perche se riesco a trovare la combinazione giusta poi da risolvere è facilissimo. ma non riesco a trovare la combinazione giusta.
o mi esce una $x^2$ di troppo oppure una $x$ di troppo oppure un numero finito di troppo...
possibile?

grazie

[rino6999]

togliamo il - che sta all'esterno dell'integrale scrivendo al numeratore $1-2x^2$
A,B e C li trovi risolvendo l'equazione
$A(x^2-1)+Bx(x-1)+Cx(x+1)=1-2x^2$
applicando il principio di identità dei polinomi

[chiaraotta1]

Per avere
$(2x^2-1)/(x(x+1)(x-1))$
da
$A/x+B/(x+1)+C/(x-1)$,
occorre che sia
$A(x-1)(x+1)+Bx(x-1)+Cx(x+1)=2x^2-1$.
Da cui, sviluppando,
$(A+B+C)x^2+(-B+C)x-A=2x^2-1$
Quindi
${(A+B+C=2), (-B+C=0), (-A=-1):}->{(A=1), (B+C=1), (-B+C=0):}->$
${(A=1), (B=1/2), (C=1/2):}$.
In definitiva
$(2x^2-1)/(x(x+1)(x-1))=1/x+1/(2(x-1))+1/(2(x+1))$.

[giogiomogio]

grazie mille, che asino che sono, stavo provando tutte le combinazioni possibili quando potevo fare un sistema
sicuramente non incapperò più in questo stupido errore.

ma una cosa però non ho capito:
perchè non posso lasciare il segno meno all'esterno?

grazie

[rino6999]

puoi lasciarlo
dava fastidio a me....

[giogiomogio]

come mai ti dava fastidio?
scusa se rompo ma vorrei imparare a vedere come vedete voi

[minomic]

"giogiomogio":come mai ti dava fastidio?
scusa se rompo ma vorrei imparare a vedere come vedete voi

Ciao, non posso parlare per Raf85 - che saluto - ma ti dico perché darebbe fastidio a me: innanzitutto è da ricopiare ogni volta (con il rischio di dimenticarlo) e poi quando spezzi l'argomento dell'integrale quel segno $-$ va ad influenzare tutti i termini. Brutta cosa, perché rischi nuovamente di dimenticarti di cambiare qualche segno. Meglio portarlo dentro e procedere tranquillamente da lì.

[giogiomogio]

ok grazie minomic,
io pensavo di tenerlo fuori poi sviluppo dentro e quando ottengo l'integrale spezzato, lo risolvo e solo dopo cambio i segni...
provo a farlo in tutti e 2 i modi cosi vedo bene cosa intendi.