Integrale per sostituzione

[cavarzeran]

Non riesco a visualizzare come inserire questo integrale

$ int_()^() x root(3)(1+x^2) dx $

nella "formula" dell'integrazione per sostituzione. Infatti,

$ int_()^() f(g(x))g'(x) dx = int_()^() f(y) dx $

non capisco chi sia $ f(g(x)) $ o $ g'(x) $ .

[axpgn]

Lascia perdere la formula, tanto sempre ad occhio devi andare

$t=1+x^2\ ->\ dt=2x dx\ ->\ dt/2=x dx $

[cavarzeran]

Grazie, la formula la tralascio...

E nel caso di:

$ int_()^() [(root ()(3x)+(log3x)/(3x)] dx $ ?

Ho spezzato l'integrale, il primo è riconducibile ad integrale immediato:

$ int_()^() root ()(3x) dx=2/3 root()(3x^3) $

Il secondo, invece, si risolve con sostituzione:

$ int_()^() (log3x)/(3x) = int log3x \cdot 1/(3x)dx $

Ma ponendo
$ 3x = t $
$ dt= 3 dx $
non ottengo nulla di buono.

C'è qualche modo per 'ricombinarlo'?

[cavarzeran]

In questo caso si vede chiaramente che $1/3x$ è la derivata di $log3x$: a questo punto, potrei facilmente sostituire e...

$ int log3x \cdot 1/(3x) dx $

con
$ log3x = t$
$dt= 1/(3x) dx$

allora:

$ inttdt = t^2/2 $
sostituendo...
$ 1/2 log^2(3x) + c $

con un risultato finale di:

$ 2/3 root()(3x^3) +1/2 log^2(3x) + c $

ma le soluzioni mi danno $1/6 log^2(3x)$, non $1/2$

[@melia]

La derivata di $log 3x$ è $1/x$ e non $1/(3x)$
$D(log 3x)= 1/(3x)*D(3x)=1/(3x)*3=1/x$ oppure $D(log 3x)= D(log3+logx)=D(log3)+D(logx)=0+1/x=1/x$

[cavarzeran]

Vero, grazie!