Integrale per sostituzione

[FrancescaRomana3]

$int sqrt(x^2+1)/(x^2)dx$
Ho provato a sostituire $sqrt(x^2+1)=t-x$ e facendo un po' di calcoli ho trovato che $dx=(t^2+1)/(2x^2)$ ore se sostituisco il tutto all'integrale di partenza e faccio un po' di semplicicazioni arrivo a $int(t^2+1)^2/(t(t^2-1)^2)$. Così ho svolto l'integrale ma mi vengolo dei calcoli assurdi e il risultato, $ln(x+sqrt(x^2+1))-sqrt(x^2+1)/x+c$ , non torna
C'è un'altra sostituzione più semplice che potrei fare?

[Pierlu11]

Sostituisci $ x=sinht $ e applica la relazione $ cosh=sqrt(1+sinh^2t) $ ...

[FrancescaRomana3]

Ho provato ma non riesco a semplificare un granchè! Anche perchè non abbiamo mai fatto le funzioni iperboliche e non saprei se ci sono regole strane per semplificare di più i calcoli!

[giammaria2]

Un'occhiata al risultato suggerisce di integrare per parti, prendendo come fattor differenziale $1/x^2$. Arrivi a
$-1/xsqrt(x^2+1)+int(dx)/sqrt(x^2+1)$
In alcuni testi l'integrale ottenuto figura in tabella, e se lo conosci sei subito al risultato. In caso contrario il metodo più rapido è l'uso delle funzioni iperboliche; mancando anche queste puoi ricorrere alla classica sostituzione $x=tg u$ ma i calcoli non sono brevissimi.
Puoi anche continuare dal punto in cui sei arrivata, con la sostituzione $t^2-1=u$ oppure $t^2=u$: non ho provato a fare i calcoli ma non mi sembrano lunghi.