Integrale per parti

[GreenLink]

Qualcuno può mostrarmi passaggio per passaggio l'integrazione per parti di $(1-x^2)^(1/2)$ ?
Grazie

[gygabyte017]

Dunque:

$int (1-x^2)^(1/2)dx = int sqrt(1-x^2)dx$

$f(x)=sqrt(1-x^2)$ quindi $df(x)=-x/sqrt(1-x^2)dx$
$dg(x)=dx$ quindi $g(x)=x$

Integrando per parti:
$int sqrt(1-x^2)dx = x sqrt(1-x^2)+int x^2/sqrt(1-x^2)dx$

$f(x)=x^2$ quindi $df(x)=2xdx$
$dg(x)=dx/sqrt(1-x^2)$ quindi $g(x)=arcsinx$

Riintegrando per parti:

$int sqrt(1-x^2)dx = x sqrt(1-x^2)+int x^2/sqrt(1-x^2)dx = x sqrt(1-x^2) + x^2arcsinx-int 2xarcsinxdx$

Risolviamo ora a parte $int 2xarcsinxdx$:
Ponendo $t=arcsinx$ si ha:
$x=sint$ e $dx=costdt$
quindi: $int 2xarcsinxdx = int 2tsintcostdt$

Integriamo ancora per parti:
$f(x)=t$ quindi $df(x)=dt$
$dg(x)=2sintcostdt=sin2tdt$ quindi $g(x)=-(cos2t)/2$

Allora $int 2tsintcostdt = -(tcos2t)/2+1/2 int cos2tdt = -(tcos2t)/2 + (sin2t)/4 = -(arcsinxcos2(arcsinx))/2+(sin2(arcsinx))/4 =$
$-(arcsinx)/2*(1-2sin(arcsinx)^2) + (2*sinarcsinx*cosarcsinx)/4 = -(arcsinx * (1-2x^2))/2 + (x*cosarcsinx)/2$

Calcoliamo ora $cosarcsinx$: se $x=sint$ allora $cost = sqrt(1-x^2)$ quindi $cosarcsinx =sqrt(1-x^2)$
quindi $int 2xarcsinxdx = -(arcsinx * (1-2x^2))/2 + (x*sqrt(1-x^2))/2

Sommando finalmente tutte le quantita abbiamo:

$int sqrt(1-x^2)dx = x sqrt(1-x^2) + x^2arcsinx+(arcsinx * (1-2x^2))/2 - (x*sqrt(1-x^2))/2 = $
$(x*sqrt(1-x^2))/2 + (2*x^2*arcsinx+arcsinx-2*x^2*arcsinx)/2 = (x*sqrt(1-x^2))/2 + (arcsinx) /2 + C$

Dovrebbe (spero) essere tutto corretto!! Ammazza quanto era lungo!


Edit: comunque, quando hai un integrale del tipo $int sqrt(a^2-x^2)dx$ con $a in RR$, NON APPLICARE l'integrazione per parti! Si risolve semplicemente con la formula:
$int sqrt(a^2-x^2)dx = a^2/2arcsin(x/a)+x/2sqrt(a^2-x^2) +C$

Applicando in questo caso a=1, si ottiene facilmente:
$int sqrt(1-x^2)dx = 1/2arcsin(x)+x/2sqrt(1-x^2) +C$ !!!

[GreenLink]

Avevo pensato anch'io a quella sostituzione, però il libro lo metteva proprio tra gli integrali per parti!

[cozzataddeo]

"gygabyte017":Dunque:

$int (1-x^2)^(1/2)dx = int sqrt(1-x^2)dx$

$f(x)=sqrt(1-x^2)$ quindi $df(x)=-x/sqrt(1-x^2)dx$
$dg(x)=dx$ quindi $g(x)=x$

Integrando per parti:
$int sqrt(1-x^2)dx = x sqrt(1-x^2)+int x^2/sqrt(1-x^2)dx$

Buono fin qui, poi sommando e sottraendo 1 al numeratore della funzione integranda e raccogliendo un meno fuori del segno di integrazione si ha

$int sqrt(1-x^2)dx = x sqrt(1-x^2)-int (1-x^2-1)/sqrt(1-x^2)dx= x sqrt(1-x^2)-int (1-x^2)/sqrt(1-x^2)dx+int 1/sqrt(1-x^2)dx=x sqrt(1-x^2)-int sqrt(1-x^2)dx+int 1/sqrt(1-x^2)dx$

quindi

$int sqrt(1-x^2)dx =x sqrt(1-x^2)-int sqrt(1-x^2)dx+arcsenx$

e portando al primo membro l'integrale che c'è al secondo membro si ha

$2int sqrt(1-x^2)dx =x sqrt(1-x^2)+arcsenx$

ovvero

$int sqrt(1-x^2)dx =1/2x sqrt(1-x^2)+1/2arcsenx+k$

Cosí è un po' piú veloce e non si usano sostituzioni.
Un'altra strada è eseguire nell'integrale iniziale la sostituzione $t=senx$ o $t=cosx$, che porta alla formula indicata da gygabyte017 alla fine del suo post precedente.

Buona integrazione a tutti!

[vampm2006]

ciao ragazzi x favore è per un compito mi potreste aiutare a svolgere questi due integrali per parti??
int di x^2 e^x dx
int di x^2 lnx dx
il risultato del primo è (x^2-2x+2)e^x+K
il risultato del secondo è x^3/3 lnx-x^3/9+K