Integrale - passaggio strano
Salve a tutti... ho una domanda... data questa funzione:
che "matematichese" parlando è:
$Rect(t){ ( 1/\epsilon ( |t|<\epsilon/2) ),( 1/(2\epsilon)(|t|=\epsilon/2) ),( 0 (|t|>\epsilon/2) ):}$
Se dovessi risolvere un integrale del tipo:
$int_(-\oo)^(+oo) Rect(t) dt $
vedo sempre che, come primo passaggio, fanno questa cosa qui:
$int_(-\oo)^(+oo) Rect(t) dt = int_(-\epsilon/2)^(\epsilon/2) 1/\epsilon dt$
E questo secondo me è vero fino ad un certo punto per il semplice motivo:
quando $t=-\epsilon/2$ oppure quando $t=+\epsilon/2$ la funzione $Rect(t)$ non mi ritorna indietro $1/\epsilon$ ma $1/(2\epsilon)$ quindi per quelle 2 $t$ nell "iterazione" dell'integrale non avremo $1/\epsilon*dt$ ma $1/(2\epsilon)*dt$
quindi perche semplificano cosi in maniera brutale? secondo me quell'uguaglianza non è corretta.... voi che dite?
grazie
che "matematichese" parlando è:
$Rect(t){ ( 1/\epsilon ( |t|<\epsilon/2) ),( 1/(2\epsilon)(|t|=\epsilon/2) ),( 0 (|t|>\epsilon/2) ):}$
Se dovessi risolvere un integrale del tipo:
$int_(-\oo)^(+oo) Rect(t) dt $
vedo sempre che, come primo passaggio, fanno questa cosa qui:
$int_(-\oo)^(+oo) Rect(t) dt = int_(-\epsilon/2)^(\epsilon/2) 1/\epsilon dt$
E questo secondo me è vero fino ad un certo punto per il semplice motivo:
quando $t=-\epsilon/2$ oppure quando $t=+\epsilon/2$ la funzione $Rect(t)$ non mi ritorna indietro $1/\epsilon$ ma $1/(2\epsilon)$ quindi per quelle 2 $t$ nell "iterazione" dell'integrale non avremo $1/\epsilon*dt$ ma $1/(2\epsilon)*dt$
quindi perche semplificano cosi in maniera brutale? secondo me quell'uguaglianza non è corretta.... voi che dite?
grazie
Risposte
Una delle prime proprietà degli integrali - c'è qualche libro che la dimostra? - è questa
$\int_a^a f(x)dx=0$ per qualsiasi funzione (integrabile in $a\in \RR$).
In generale, inoltre, c'è anche un altro fatto che si dà per scontato - dimostrazione? va detto meglio? - che, se abbiamo $[a,b]$ o $]a,b[$ in generale si prendono quegli estremi come integrazione sia che sono compresi sia che sono non compresi (negli integrali impropri si passa al limite).
Del primo fatto sono sicuro, dell'altro ho qualche dubbio.
$\int_a^a f(x)dx=0$ per qualsiasi funzione (integrabile in $a\in \RR$).
In generale, inoltre, c'è anche un altro fatto che si dà per scontato - dimostrazione? va detto meglio? - che, se abbiamo $[a,b]$ o $]a,b[$ in generale si prendono quegli estremi come integrazione sia che sono compresi sia che sono non compresi (negli integrali impropri si passa al limite).
Del primo fatto sono sicuro, dell'altro ho qualche dubbio.
ma vale $1/(2epsilon)$ solo in 2 singoli punti,e dal punto di vista dell'integrale ciò è ininfluente
l'uguaglianza è corretta
d'altronde ricordiamo che l'integrale dato deve dare come risultato l'area della superficie sottesa alla curva
l'uguaglianza è corretta
d'altronde ricordiamo che l'integrale dato deve dare come risultato l'area della superficie sottesa alla curva
Ci credete che sto facendo analisi 3 e non hai mai visto quelle proprietà ?
quanto detto da zero (per il primo punto) significa quindi che se integro da $-\epsilon/2$ a $-\epsilon/2$ ottengo $0$ giusto ?
pensandoci è ovvio perche sottraendo le 2 primitive su 2 stessi punti... mi da esattamente zero...
allora pensandoci su un attimo ... questo significa che in un $dt$ la $t$ posso scegliere io dove valutarla giusto? basta che sia dentro il $dt$ e questo vale su ogni intervallo ovviamente...
quindi morale della favola... i 2 estremi non influiscono giusto?
ma allora alla fine cosa ottengo? l'area del rettangolo completa ???
penso proprio di si giusto ?
proprio perche posso vedere che la $t$ nel $dt$ non cada proprio all'inizio e quindi su $-\epsilon/2$ ma per esempio cada a $-\epsilon/2+dt/2$ e poi l'immagine che mi ritorna va moltiplicata per $dt$ ... e quindi magia non influisce...
possibile?
[OT]
Zero sto cercando di capire il tuo avatar
quanto detto da zero (per il primo punto) significa quindi che se integro da $-\epsilon/2$ a $-\epsilon/2$ ottengo $0$ giusto ?
pensandoci è ovvio perche sottraendo le 2 primitive su 2 stessi punti... mi da esattamente zero...
allora pensandoci su un attimo ... questo significa che in un $dt$ la $t$ posso scegliere io dove valutarla giusto? basta che sia dentro il $dt$ e questo vale su ogni intervallo ovviamente...
quindi morale della favola... i 2 estremi non influiscono giusto?
ma allora alla fine cosa ottengo? l'area del rettangolo completa ???
penso proprio di si giusto ?
proprio perche posso vedere che la $t$ nel $dt$ non cada proprio all'inizio e quindi su $-\epsilon/2$ ma per esempio cada a $-\epsilon/2+dt/2$ e poi l'immagine che mi ritorna va moltiplicata per $dt$ ... e quindi magia non influisce...
possibile?
[OT]
Zero sto cercando di capire il tuo avatar
"giogiomogio":
Ci credete che sto facendo analisi 3 e non hai mai visto quelle proprietà ?
Ricordo sempre la lezione di probabilità (6 anni fa) in cui si facevano le distribuzioni continue e apparve un integrale del tipo
$\int_a^a f(x)dx$
che il prof pose uguale a zero e tutti a guardarlo male. E lui disse "se in Analisi I avevate il Marcellini Sbordone lo dà come proprietà!".
allora pensandoci su un attimo ... questo significa che in un $dt$ la $t$ posso scegliere io dove valutarla giusto? basta che sia dentro il $dt$ e questo vale su ogni intervallo ovviamente...
$dt$ sarebbe $lim_(t->0) \Delta t$ nella definizione dell'integrale di Riemann con le partizioni. In generale, i punti $t_n$ della partizione variano sempre all'interno dell'intervallo considerato (e l'integrale è il limite della sommatoria con le partizioni che compare nelle definizioni).
Ora l'ho detto maluccio e se mi vedesse FP - autore di "chi è $dx$?" che sta da qualche parte nel suo sito o su matematicamente ma non ricordo dove, ma se lo trovi ti invito a leggerlo - mi bacchetterebbe senz'altro. Ma d'altra parte saluto (l'ex) amministratore cattivissimo invitandolo a considerare che da quando ho trovato lavoro di matematica non ricordo quasi più un tubo...!
[OT]
Zero sto cercando di capire il tuo avatar
Ho iniziato alla magistrale a vedere un cartone idiota che si chiama "i due fantagenitori" - sì, so che non è normale come cosa - e il mio avatar è l'entità più idiota che esista in quel cartone (Cosmo!)... dopo il padre di Timmy, ma quest'ultimo non fa ridere per niente.
Beh quindi cadono a random... all interno del $dt$ fatto sta che non è detto che cadono proprio sull primo o sul secondo estremo del $dt$ questo significa che se inizio con il primo intervallo... non è detto che la $t$ cada proprio su $-\epsilon/2$ quindi (il punto $1/(2\epsilon)$ che si trova a metà fra $1/\epsilon$ e $0$ in $t=-\epsilon/2$) viene snobbato...
l'avrei visto anche io il tuo prof con 2 occhi da barracuda... ma pensadoci è ovvio... risolvendo l'integrale ottieni: $F(a) - F(a)$ che fa per forza di cose $0$
ahahha okok non ho mai sentito parlare di quel cartone, però buono a sapersi
io comunque i cartoni li guardo ancora... quindi considerati salvo 
l'avrei visto anche io il tuo prof con 2 occhi da barracuda... ma pensadoci è ovvio... risolvendo l'integrale ottieni: $F(a) - F(a)$ che fa per forza di cose $0$
ahahha okok non ho mai sentito parlare di quel cartone, però buono a sapersi
io comunque i cartoni li guardo ancora... quindi considerati salvo
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