Integrale particolare
salve a tutti, sono nuovo del forum e mi sono imbattuto in un'integrale particolare(almeno per me eh), è il seguente:
\(\int (x^4+3x)/(x^2-1) \ \text{d}x \)
praticamente lo dovrei risolvere(obbligatoriamente da esericizio), trovando le radici del denominatore e poi usando il metodo della frammentazione delle frazioni(non so se si chiami cosi'),praticamente tutta questa frazione la devo trasformare nella somma di due o più frazioni e poi mi devo andare a trovare il numeratore di ogni pezzo della frazione usando il sistema
Non so se sono stato chiaro qualsiasi cosa, scrivete.
grazie mille per la disponibilità e pazienza.
Aspetto vostre risposte
\(\int (x^4+3x)/(x^2-1) \ \text{d}x \)
praticamente lo dovrei risolvere(obbligatoriamente da esericizio), trovando le radici del denominatore e poi usando il metodo della frammentazione delle frazioni(non so se si chiami cosi'),praticamente tutta questa frazione la devo trasformare nella somma di due o più frazioni e poi mi devo andare a trovare il numeratore di ogni pezzo della frazione usando il sistema
Non so se sono stato chiaro qualsiasi cosa, scrivete.
grazie mille per la disponibilità e pazienza.
Aspetto vostre risposte
Risposte
Quello che tu hai provato ad illustrare ha un nome: si chiama scomposizione in fratti semplici.
In pratica si vuole manipolare la frazione in modo da avere la somma di più frazioni in cui o il denominatore è $1$ o il grado del numeratore è minore del grado del denominatore.
Ti consiglio di imparare a fare la divisione tra polinomi, è sempre utile saperlo fare.
Quello che ora ti suggerisco è invece una scorciatoia per evitare di fare troppi conti:
$(x^4+3x)/(x^2-1) = (x^4-x^2+x^2+3x)/(x^2-1)=(x^4-x^2)/(x^2-1)+ (x^2+3x)/(x^2-1)= (x^2*(x^2-1))/(x^2-1)+ (x^2+3x)/(x^2-1)= x^2 +(x^2+3x)/(x^2-1)=$
$=x^2 +(x^2+3x)/(x^2-1)= x^2 +(x^2-1+1+3x)/(x^2-1)= x^2+(x^2-1)/(x^2-1)+(3x+1)/(x^2-1)= x^2+1+(3x+1)/(x^2-1)$
In pratica si vuole manipolare la frazione in modo da avere la somma di più frazioni in cui o il denominatore è $1$ o il grado del numeratore è minore del grado del denominatore.
Ti consiglio di imparare a fare la divisione tra polinomi, è sempre utile saperlo fare.
Quello che ora ti suggerisco è invece una scorciatoia per evitare di fare troppi conti:
$(x^4+3x)/(x^2-1) = (x^4-x^2+x^2+3x)/(x^2-1)=(x^4-x^2)/(x^2-1)+ (x^2+3x)/(x^2-1)= (x^2*(x^2-1))/(x^2-1)+ (x^2+3x)/(x^2-1)= x^2 +(x^2+3x)/(x^2-1)=$
$=x^2 +(x^2+3x)/(x^2-1)= x^2 +(x^2-1+1+3x)/(x^2-1)= x^2+(x^2-1)/(x^2-1)+(3x+1)/(x^2-1)= x^2+1+(3x+1)/(x^2-1)$
ok,ciao gi8, quindi una volta scomposta per renderla più semplice, come faccio ad applicare la regola di scomposizione in tratti semplici?
Dato che $x^2-1=(x+1)(x-1)$, devi trovare $A,B in RR$ tali che $(3x+1)/(x^2-1) = A/(x-1) +B/(x+1)$
diciamo che messa cosi' la riesco a capire la trasformazione, il problema è quando ad esempio la frazione di partenza è di grado superiore al primo o quando c'è sia la x di maggior grado che quella di grado 1(come in questo esercizio); cioè in poche parole, data la traccia dell'esercizio di partenza(questo che è di 4 grado) come faccio a trasformarlo usando A e B, senza scomporlo?
Ti ringrazio ancora per la pazienza e disponibilità
Ti ringrazio ancora per la pazienza e disponibilità
La differenza tra il grado sel numeratore e quello del denominatore è 2, quindi la frazione si scompone nella somma tra un polinomio di secondo grado e i fratti semplici:
$(x^4+3x)/(x^2-1) = Ax^2+Bx+C+D/(x-1)+E/(x+1)$
$(x^4+3x)/(x^2-1) = Ax^2+Bx+C+D/(x-1)+E/(x+1)$
ciao melia,senti non riesco a capire il ragionamento che bisogna fare nel passare dalla frazione di partenza a quella scritta. ti chiedo scusa se sono ottuso 
Cercherò di spiegarmi meglio: $(x^4+3x):(x^2-1)$ dà un quoziente di secondo grado che ho chiamato $Ax^2+Bx+C$ e un resto di primo grado da scriversi nella forma $(kx+h)/(x^2-1)$ perché non è stato possibile dividerlo.
(Se fossero dei numeri sarebbero tipo $43/8 = 5+ 3/8$ questo permette di mantenere l'uguaglianza, mettendo in evidenza quoziente e resto della divisione)
Adesso bisogna scomporre la frazione che individua il resto in fratti semplici, prima si scompone il denominatore $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ e poi si spezza la frazione $(kx+h)/(x^2-1)$ in $D/(x-1)+E/(x+1)$ riassumendo
$(x^4+3x)/(x^2-1) = (x^4+3x):(x^2-1) = Ax^2+Bx+C + (kx+h)/(x^2-1) =$
$= Ax^2+Bx+C +D/(x-1)+E/(x+1)$
Stavolta spero di essere stata più chiara.
PS mi chiamo @melia, non melia
(Se fossero dei numeri sarebbero tipo $43/8 = 5+ 3/8$ questo permette di mantenere l'uguaglianza, mettendo in evidenza quoziente e resto della divisione)
Adesso bisogna scomporre la frazione che individua il resto in fratti semplici, prima si scompone il denominatore $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ e poi si spezza la frazione $(kx+h)/(x^2-1)$ in $D/(x-1)+E/(x+1)$ riassumendo
$(x^4+3x)/(x^2-1) = (x^4+3x):(x^2-1) = Ax^2+Bx+C + (kx+h)/(x^2-1) =$
$= Ax^2+Bx+C +D/(x-1)+E/(x+1)$
Stavolta spero di essere stata più chiara.
PS mi chiamo @melia, non melia
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