Integrale indefinito

[etec83]

$\int ln[cos(x)] dx$

Presumo che debba essere risolto per sostituzione e visto che c'è il logaritmo naturale, avevo pensato di porre

$cos(x) = e^t$

per vedere cosa succedeva

$x = arccos(e^t)$

$dx = -e^t /sqrt(1-e^(2t)) dt$

sostituendo avrei

$int ln(e^t) * [-e^t /sqrt(1-e^(2t))] dt = int -(te^t) /sqrt(1-e^(2t)) dt$

solo che non mi sembra di essere arrivato ad un buon punto, nel senso che da qui in poi non saprei proprio come procedere.

Avevo anche pensato di porre:

$cos(x) = sqrt (1- e^(2t))$

in modo da levarmi la radice al denominatore dovuto all'arcocoseno, ma facendo i conti risulta

$x = arccos (sqrt (1- e^(2t)))$

$dx = (-2e^2t)/(2sqrt (1- e^(2t))) * -1 / (sqrt (1 - (1- e^(2t)))) dt$

$dx = (-2e^2t)/(2sqrt (1- e^(2t))) * -1/e^t dt$

$dx = (2e^t)/(2sqrt (1- e^(2t))) dt$

solo che una volta sostituito ho

$int ln(sqrt (1- e^(2t))) (2e^t)/(2sqrt (1- e^(2t))) dt

Ora però ho il logaritmo non lo posso più semplificare e non mi pare di essere arrivato ad una forma più semplice di quella di partenza.

Pertanto mi chiedevo, ma quale maledetta sostituzione devo effettuare?
Ne ho provate un po', ma sono sempre allo stesso punto.

[@melia]

Mi chiedo, sei sicuro che il testo dell'esercizio sia questo?
Visto che avevo poche idee ho provato con l'integratore on line, spesso conoscendo il risultato è più facile trovare la via risolutiva.
Non ho neppure capito che cosa sono, esattamente, i polilogaritmi.

[etec83]

Non so, mi hanno chiesto se sapevo risolverlo, credo che il testo sia giusto.
Comunque se è troppo difficile lascio perdere o magari spostare il thread in analisi matematica.

[G.D.5]

Chi ti ha chiesto di risolverlo? La traccia ti è stata data a voce?

Se sei sicuro che il testo sia quello, spostiamo in Analisi Matematica perché la risposta tutto mi pare tranne che una risposta da scuola secondaria di secondo grado.

[Paolo902]

Chiedo scusa anticipatamente se le mie parole sono a sproposito.

Io la butto lì, andando a naso: non è che per caso dovevi derivare quella funzione? Perchè, in qualche modo, quello è un risultato notevole.

Se non sbaglio infatti $ln(cosx)$ è una primitiva della tangente, a meno di un segno e di un valore assoluto...

Chiedo ancora scusa se il mio intervento è fuori luogo.

[etec83]

Sì il testo è quello
Diciamo che avevo visto il testo su un eserciziario e mi sembrava un integrale piuttosto banale così a vedersi.
Molto probabilmente mi sono sbagliato io.

Spostate pure in analisi, anche se non prometto di avere le basi per capire la soluzione o aver modo di trovarla.