Integrale indefinito
Ciao a tutti!
Scusate ma mi è venuto un dubbio atroce su cosa sia effettivamente l'integrale indefinito, nel senso:
$intf(x)dx$ rappresenta come sappiamo la famiglia di tutte le funzioni che derivate danno $f(x)$ e questa famiglia, come sappiamo, è rappresentata dalle primitive della forma $F(x) + c$
Ora...il simbolo $int$ in questo contesto rappresenta una sommatoria infinita? Quando facciamo un integrale definito
di una certa funzione $f(x)$ da una certa $x_1$ a una certa $x_2$ troviamo l'area sottesa dalla curva nell'intervallo $(x_1,x_2)$ che non corrisponde ad altro che alla variazione della funzione primitiva $F(x) + c$ da $x_1$ a $x_2$.
In virtù di queste considerazioni ho pensato: se nell'integrale indefinito $intf(x)dx$ il simbolo $int$ non rappresenta una sommatoria allora va bene...ma attenzione: se invece consideriamo $int$ come una generica sommatoria definita in un intervallo del tutto arbitrario non sarebbe più giusto dire che una certa funzione $F(x)$ (tale che la sua derivata è f(x)) vale $F(x)=intf(x)dx + c?$ Come a dire in soldoni: immaginiamo che la $F(x)$ sia una funzione monotona crescente e fissiamo due punti, $x_A$ e $x_B$ tali che $x_B>x_A$( e di conseguenza anche F(x_B)>F(x_A) per definizione di funzione monotona crescente) Se vogliamo dire quanto vale la funzione per esempio proprio in $x_B$ non possiamo dire che vale
$F(x_B)=F(x_B)-F(x_A)+c$(dove c è proprio F(x_A)) e quindi, in maniera del tutto equivalente, $F(x_B)=int_{x_A}^{x_B}f(x)dx+c$?
Vi ringrazio dell'attenzione, scusate la domanda però è troppo importante...già ho problemi a livello di interpretazione con i potenziali elettrostatici in fisica e siccome sono concetti che a ingegneria si applicano in ogni campo vorrei avere le idee molto chiare per non avere altri intoppi in futuro
Scusate ma mi è venuto un dubbio atroce su cosa sia effettivamente l'integrale indefinito, nel senso:
$intf(x)dx$ rappresenta come sappiamo la famiglia di tutte le funzioni che derivate danno $f(x)$ e questa famiglia, come sappiamo, è rappresentata dalle primitive della forma $F(x) + c$
Ora...il simbolo $int$ in questo contesto rappresenta una sommatoria infinita? Quando facciamo un integrale definito
di una certa funzione $f(x)$ da una certa $x_1$ a una certa $x_2$ troviamo l'area sottesa dalla curva nell'intervallo $(x_1,x_2)$ che non corrisponde ad altro che alla variazione della funzione primitiva $F(x) + c$ da $x_1$ a $x_2$.
In virtù di queste considerazioni ho pensato: se nell'integrale indefinito $intf(x)dx$ il simbolo $int$ non rappresenta una sommatoria allora va bene...ma attenzione: se invece consideriamo $int$ come una generica sommatoria definita in un intervallo del tutto arbitrario non sarebbe più giusto dire che una certa funzione $F(x)$ (tale che la sua derivata è f(x)) vale $F(x)=intf(x)dx + c?$ Come a dire in soldoni: immaginiamo che la $F(x)$ sia una funzione monotona crescente e fissiamo due punti, $x_A$ e $x_B$ tali che $x_B>x_A$( e di conseguenza anche F(x_B)>F(x_A) per definizione di funzione monotona crescente) Se vogliamo dire quanto vale la funzione per esempio proprio in $x_B$ non possiamo dire che vale
$F(x_B)=F(x_B)-F(x_A)+c$(dove c è proprio F(x_A)) e quindi, in maniera del tutto equivalente, $F(x_B)=int_{x_A}^{x_B}f(x)dx+c$?
Vi ringrazio dell'attenzione, scusate la domanda però è troppo importante...già ho problemi a livello di interpretazione con i potenziali elettrostatici in fisica e siccome sono concetti che a ingegneria si applicano in ogni campo vorrei avere le idee molto chiare per non avere altri intoppi in futuro
Risposte
Quello che hai detto è riassunto egregiamente nel teorema fondamentale del calcolo integrale, non solo, le cose funzionano anche quando F(x) non è monotona crescente.
ok...per favore guarda un attimo questa pagina http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fo ... _integrale dove dice "primo teorema"...nel simbolo $int_a^x$ allora la $a$, affinche questa integrazione dia il valore che assume effettivamente la $F$ in $x$, non deve essere un valore tale che la primitiva valga zero?
Un suggerimento al volo: non stare a riflettere troppo sul simbolo di integrale indefinito. Il "vero" integrale, quello che puoi intuitivamente pensare come somma continua, è quello definito. L'integrale indefinito è solo un simbolo come un altro per indicare la famiglia delle primitive di una funzione.
[IMHO] Il simbolo di integrale indefinito genera solo confusione, andrebbe abolito almeno a livello didattico. [/IMHO]
[IMHO] Il simbolo di integrale indefinito genera solo confusione, andrebbe abolito almeno a livello didattico. [/IMHO]
"dissonance":
[IMHO] Il simbolo di integrale indefinito genera solo confusione, andrebbe abolito almeno a livello didattico. [/IMHO]
Sono pienamente d'accordo con te.
Ok adesso sono un po' più sereno grazie
"Robbyx":
ok...per favore guarda un attimo questa pagina http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fo ... _integrale dove dice "primo teorema"...nel simbolo $int_a^x$ allora la $a$, affinche questa integrazione dia il valore che assume effettivamente la $F$ in $x$, non deve essere un valore tale che la primitiva valga zero?
Al contrario, tra tutte le primitive di f(x), si chiama funzione integrale nell'intervalo [a, b] quella che si annulla in a.
Ah ok!! Adesso penso di avere le idee molto più chiare! Cioè incredibile ho imparato 2 anni fa cos'è un integrale e ora ho questi dubbi O.o
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