Integrale indefinito

[gloria991]

Buongiorno, ho risolto due integrali ma non mi escono come il risultato del libro.

1 - $\int(x+1)/(9x^2+16) dx$, il mio procedimento è:

$\int(x)/(9x^2+16) dx$ + $\int(1)/(9x^2+16) dx$ e da qui:

$1/18(ln|9x^2+16|) + 1/4 arctan(3/4)x+c$

in poche parole il risultato del libro è questo: $1/18(ln|9x^2+16|) + 1/12 arctan(3/4)x+c$



2- $int(x+1)/(9x^2+6x+1)dx$

Per questo ho fatto: $int(x+1)/(3x+1)^2dx$ e ho scritto $A/(3x+1)+B/(3x+1)^2$

ho risolto il sistema:

$\{(3A=1),(A+B=1/3):}$ dove trovo: $A=1/3$ e $B=2/3$

risolvendo l'integrale il risultato è: $1/3 ln |3x+1| - 2/(3*(3x+1))+c$ che non è il risultato del libro
(R: $1/9 ln |3x+1| - 2/(27x+9)+c$ )

Cosa sbaglio?
grazie mille

[Lo_zio_Tom]

1. basta riscrivere il secondo integrale così

$int1/(9x^2+16)dx=1/12int1/((3/4 x)^2+1)d(3/4x)$

e ti trovi subito con la soluzione del libro

2. La scoimposizione in fratti semplici è giusta. Hai fatto più o meno gli stessi errori del punto precedente

Es: $int1/(3(3x+1))dx$

per risolverlo ti devi ricondurre ad avere al numeratore la derivata del denominatore....quindi 3 (che non hai e quindi ce lo metti)...ma contemporeaneamente dividi per 3, ottenendo

$1/9int3/(3x+1)dx=1/9log|3x+1|+C$

ecc ecc

[gloria991]

Ciao Tommik...non mi è chiara una cosa del secondo integrale....perchè c'è $1/12$?
Ho diverse difficoltà nel comprendere il pareggio dell'integrale.
Grazie mille

[Lo_zio_Tom]

partiamo dall'integrale iniziale

$int1/(9x^2+16)dx$

facilmente diventa così:

$int1/((3x)^2+16)dx$

raccogliamo $1/16$ ottenendo

$1/16int1/(((3x)/4)^2+1)dx$

A questo punto per me sarebbe finito qui....basta "accordare" anche il differenziale che è in "x" mentre la variabile è $3/4x$

Se non ti viene automatico nulla di grave....fai un passaggino in più, sostituendo $3/4x=t$ e ti ritrovi con il risultato

$3/4x=t$

$3/4dx=dt$

siccome $3/4$ non ce l'hai nell'integranda, al solito, ce lo metti ma moltiplichi anche per $4/3$ ottenendo fuori dall'integrale proprio

$1/16*4/3=1/12$

ora dovrebbe essere chiaro

ciao

[gloria991]

Chiarissimo!Adesso si che ci sono. Grazie del prezioso aiuto!