Integrale indefinito
Salve a tutti , sono nuovo nel forum spero di non fare qualche errore.
Ho avuto difficoltà con questo integrale:
$\int x/cos(x^2) dx$
Ho ragionato in questo modo , ponendo $x^2$=$t$ quindi $dt$=$2x dx$ perciò l' integrale diventa :
$\1/2 int 1/cos(t) dt$ utilizzando la formula parametrica
$1/2 int (1+tg^2(t/2))/(1-tg^2(t/2) )dt $ =$1/2 int (1/cos^2(t/2))/((1+tg(t/2))(1-tg(t/2)))$
Usando un' altra sostituzione, $z$ =$tg (t/2)$ calcoliamo il differenziale $dz$ =$1/(cos^2(t/2)) dt$
$1/2 int 1/((1+z)(1-z))dz $ = $1/4int 1/(z+1)dz$ $-1/4int 1/(z-1) dz$
Quindi : $1/4 In | tg(t/2)+1|$ $-1/4 In|tg(t/2)-1| +c $
cioè $1/4 In| (tg(x^2/2)+1)/(tg(x^2/2)-1)|+c$
Il risultato del libro è $ xtgx+ In |cos(x)|+c$
Grazie in anticipo per il vostro aiuto
Ho avuto difficoltà con questo integrale:
$\int x/cos(x^2) dx$
Ho ragionato in questo modo , ponendo $x^2$=$t$ quindi $dt$=$2x dx$ perciò l' integrale diventa :
$\1/2 int 1/cos(t) dt$ utilizzando la formula parametrica
$1/2 int (1+tg^2(t/2))/(1-tg^2(t/2) )dt $ =$1/2 int (1/cos^2(t/2))/((1+tg(t/2))(1-tg(t/2)))$
Usando un' altra sostituzione, $z$ =$tg (t/2)$ calcoliamo il differenziale $dz$ =$1/(cos^2(t/2)) dt$
$1/2 int 1/((1+z)(1-z))dz $ = $1/4int 1/(z+1)dz$ $-1/4int 1/(z-1) dz$
Quindi : $1/4 In | tg(t/2)+1|$ $-1/4 In|tg(t/2)-1| +c $
cioè $1/4 In| (tg(x^2/2)+1)/(tg(x^2/2)-1)|+c$
Il risultato del libro è $ xtgx+ In |cos(x)|+c$
Grazie in anticipo per il vostro aiuto
Risposte
Ciao e benvenuto nel forum.
Se provi a derivare il risultato 'ufficiale' vedrai che non ottieni l'integrando. Errore nel testo?
Questo non vuol dire, automaticamente, che sia giusto il tuo. Ho dato solo un'occhiata superficiale, ma ad esempio nel differenziale della $ z $ hai dimenticato $ 1/2 $.
Ciao
B.
Se provi a derivare il risultato 'ufficiale' vedrai che non ottieni l'integrando. Errore nel testo?
Questo non vuol dire, automaticamente, che sia giusto il tuo. Ho dato solo un'occhiata superficiale, ma ad esempio nel differenziale della $ z $ hai dimenticato $ 1/2 $.
Ciao
B.
senza contare che puoi scomporlo anche senza scomodare le formule parametriche e quindi risolvere il tuo integrale in pochi e semplici passaggi
partendo da come hai iniziato tu ottieni
$1/2int1/(cost)dt=1/2int(cost)/(cos^2t)dt=1/2int(cost)/(1-sen^2t)dt rarr sent=y rarr 1/2int1/(1-y^2)dy=$
$=1/4[int1/(1+y)dy+int1/(1-y)dy]=1/4log|(1+sen(x^2))/(1-sen(x^2))|+C$
derivando la primitiva ottieni l'integranda....quindi è corretto
ciao
partendo da come hai iniziato tu ottieni
$1/2int1/(cost)dt=1/2int(cost)/(cos^2t)dt=1/2int(cost)/(1-sen^2t)dt rarr sent=y rarr 1/2int1/(1-y^2)dy=$
$=1/4[int1/(1+y)dy+int1/(1-y)dy]=1/4log|(1+sen(x^2))/(1-sen(x^2))|+C$
derivando la primitiva ottieni l'integranda....quindi è corretto
ciao
"tommik":
senza contare che puoi scomporlo anche senza scomodare le formule parametriche.....
$int1/(cosx)dx=int(cosx)/(cos^2x)dx=int(cosx)/(1-sen^2x)dx rarr senx=t rarr int1/(1-t^2)dt$
si in effetti il procedimento è più rapido, e la soluzione è la stessa :
$ 1/4 ln| (1+sen(x^2))/(1-sen(x^2))| +c $ che è diverso da $ xtgx +ln |cos(x)|+c$
Quale errore ho fatto per avere un risultato così diverso ??
Derivando il presunto risultato otteniamo $x/(cos^2x)$ e non $x/cos(x^2)$. Sicuro della traccia?
Anch' io ho potuto verificare che derivando si ottiene l ' integranda perciò la soluzione del libro è sbagliata .
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