Integrale Indefinito

[davicos]

Salve a tutti,
circa questo esercizio:

$ int1/sqrt(x^2-4 $

mi servirebbe anche solo un indizio su come risolverlo. Ho provato con la sostituzione ma non mi viene, ho provato anche per parti tenendo presente che $1=x^0$ ma lo stesso non mi viene.
Grazie!

[Gi81]

Negli integrali del tipo $int (dx)/sqrt(x^2-a^2)$ il trucco è fare la sostituzione $t:=x+sqrt(x^2-a^2)$.

Poniamo pertanto $t:=x +sqrt(x^2-4)$. Si ha $(dt)/(dx) = 1+x/sqrt(x^2-4)$, cioè $dt = (sqrt(x^2-4)+x)/sqrt(x^2-4) dx$
Dunque $dx= sqrt(x^2-4)/(sqrt(x^2-4)+x) dt$, da cui $(dx)/sqrt(x^2-4)= 1/(sqrt(x^2-4)+x) dt = 1/t dt$

Quindi l'integrale diventa $int 1/t dt = log|t| +c$, cioè $log|x +sqrt(x^2-4)|+c$.

[davicos]

Grazie, ma non ho capito questo passaggio: $(dx)/sqrt(x^2-4)= 1/(sqrt(x^2-4)+x) dt = 1/t dt$.

E poi scusa, se uno non lo sa (come per esempio io) come si fa ad arrivarci a questo tipo di sostituzione?

[Gi81]

"davicos":Grazie, ma non ho capito questo passaggio: $(dx)/sqrt(x^2-4)= 1/(sqrt(x^2-4)+x) dt = 1/t dt$.

dato che abbiamo $dx = sqrt(x^2-4) /[sqrt(x^2-4)+x] dt$, dividendo da entrambe le parti per $sqrt(x^2-4)$ si ottiene
$(dx)/sqrt(x^2-4) = 1/(sqrt(x^2-4)+x) dt$. E dato che $sqrt(x^2-4)+x=t$, ...

"davicos":E poi scusa, se uno non lo sa (come per esempio io) come si fa ad arrivarci a questo tipo di sostituzione?

Hai ragione. Non è per nulla immediato. Diciamo che a lezione te lo dovrebbero dire. O, comunque, dovrebbe esserci scritto sul libro di testo.
In ogni caso, ora lo sai

[davicos]

Si si ma c'è scritto sul libro, solo che non avevo collegato subito e poi mi è venuto in mente di farti questa domanda.. Quindi diciamo che è frutto di tanti calcoli e che quindi la si prende così com'è Ok grazie mille!!

[davicos]

Un'ultima cosa scusa, ma nella formula la $x$ può essere moltiplicata per qualsiasi costante oppure è categorico che debba esserci solo la $x$ da sola??