Integrale indefinito

[Ellihca]

Buon Giorno !
Cortesemente chiedo aiuto con il seguente integrale:
$ int dx/((1+x^2)sqrt(1+x^2 $
col metodo sostituzionte: $ x=tan t $
arrivo a:
$ int dt/sqrt (1+tan^2x) $
e da qui non riesco più ad andare avanti....
Grazie in anticipo

[quantunquemente]

$1+tg^2x=1/cos^2x$

[minomic]

Per prima cosa direi che l'ultimo passaggio è \[
\int{\frac{dt}{\sqrt{1+\tan^2 t}}}
\] Ora sfruttando quello che dice quantunquemente si ottiene subito che il risultato dell'integrale è $sin t$ (eventualmente $+C$). Ricordando la sostituzione che avevi fatto, hai che \[t = \arctan x\] quindi ora devi calcolare \[\sin\left(\arctan x\right)\] Può non essere banale, quindi procediamo con ordine. Diciamo \[\arctan x = \theta \quad\Rightarrow\quad \tan \theta = x\]quindi vogliamo calcolare \(\sin \theta\). Questo equivale a voler trovare il seno di un angolo del quale conosciamo la tangente. E' noto che \[\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}}\] Con pochi passaggi si ha \[\sin\theta = \sqrt{\frac{\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}}\] Quindi possiamo concludere che il risultato finale dell'integrale è \[\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\]
Ciao!