Integrale improprio di seconda specie

[mariasurima]

integrale1

Qualcuno può controllare come ho svolto questo integrale?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Il risultato è corretto (eccetto quel 3.3), ma la cosa che mi preme sottolineare
è il fatto che nella risoluzione degli integrali definiti (propri o impropri che sia-
no) ad ogni sostituzione occorre trasformare pure gli estremi di integrazione.
Così facendo, oltre a non commettere illeciti nei passaggi intermedi, alla fine
della fase integrativa non sarà necessario procedere a ritroso tornando alla
"variabile" iniziale. Inoltre, nel caso degli integrali generalizzati (o impropri,
che dir si voglia) occorre prestare un po' più di attenzione. Nel caso specifico,
correttamente, si ha:

[math]
\begin{aligned}
& \dots \int_0^{\frac{1}{4}} \frac{1}{x\,\log^2(2x)}dx \\
& = \lim_{a \to 0^+} \int_a^{\frac{1}{4}} \frac{1}{x\,\log^2(2x)}dx \\
& = \lim_{a \to 0^+} \int_{2a}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{t\,\log^2 t}dt \\
& = \lim_{a \to 0^+} \int_{\log(2a)}^{- \log 2} \frac{1}{z^2}dz \\
& = \lim_{a \to 0^+} \left[-\frac{1}{z}\right]_{z=\log(2a)}^{z=-\log 2} \\
& = \lim_{a \to 0^+} \left(\frac{1}{\log 2} + \frac{1}{\log(2a)}\right) \\
& = \frac{1}{\log 2} \\
& \approx 1.4427 \; .
\end{aligned}\\
[/math]

Ok? :)