Integrale: HELP!

[frons79]

\[\displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
\mu_x & = \int_0^{\theta} \frac {2}{\theta} \Bigl(1- \frac{x}{\theta}\Bigr)x\,dx \\
& = \frac {2}{\theta} \int_0^{\theta} \Bigl(1- \frac{x}{\theta}\Bigr)x\,dx \\
& = \frac {2}{\theta} \Bigl(1- \frac{x}{\theta}\Bigr)\,x - \int_0^{\theta} - \frac{1}{\theta} \Bigl(\frac{x^2}{2}\Bigr)\,dx \\
& = \frac {2}{\theta} \Bigl(1- \frac{x}{\theta}\Bigr)\,x + \frac{1}{\theta}\,\frac{x^3}{3} \Bigg|_0^{\theta} \\
& = \frac{\theta^2}{3}
\end{split}
\end{equation} \]
Quando invece la soluzione del testo indicata è \(\displaystyle \frac{\theta}{3} \)
Dove sbaglio??

[vict85]

Trasformalo in \(\displaystyle x-\frac{x^2}{\theta} \) e usa la linearità dell'integrale, ovvero il fatto che l'integrale di una somma è la somma degli integrali.

[frons79]

Per una volta la strada più semplice era anche quella corretta

[igiul1]

Hai voluto integrare per parti, ma il calcolo è errato. Ecco quello corretto:

$2/theta[(1-x/theta)x^2/2|_0^(theta)-int_0^theta(-1/thetax^2/2)dx]=2/theta(1/theta1/2x^3/3)|_0^theta=theta/3$

Molto più semplice come indicato da vict85.

[vict85]

Non esiste un modo corretto e uno scorretto. Per esempio avresti potuto anche decidere che c'erano troppi \(\displaystyle \theta \) in giro e fare la sostituzione \(\displaystyle z = \frac{x}{\theta} \), ricavando:
\begin{align} 2\int_{0}^{\theta} \Bigl( 1 - \frac{x}{\theta} \Bigr)\frac{x}{\theta}\,dx &= 2\theta \int_{0}^{1} ( 1 - z )z \,dz
\end{align}

Ma come puoi immaginare non è un passaggio obbligatorio. Insomma puoi benissimo ignorarlo.