Integrale funzione razionale fratta

[simonsays92]

Salve. Devo risolvere un integrale: $1/(4x^2+5)$. Il delta del denominatore è minore di 0, quindi decido di riscriverlo con la formula del completamento del quadrato, ossia: $4(x+0)^2+(sqrt(5))^2$. So che questo mi porterà a risolvere l'integrale come: $(1/k)*arctan((x+m)/k)$. Tuttavia non so come arrivare alla soluzione per via del 4 davanti ad x^2, perchè è un caso che non avevo ancora visto e non so come trattarlo. Qualcuno può aiutarmi a risolvere l'integrale? La soluzione è: $(1/(2sqrt(5)))arctan((2x)/sqrt(5))$.

[andar9896]

Prova a mettere il 5 in evidenza

[simonsays92]

Non capisco cosa devo fare.

[andar9896]

$1/(4x^2+5) = 1/(5(4/5x^2+1))$ ora puoi fare un cambio di variabile e risolvere con l'arcotangente... quella formula è utile, ma bisogna saperla usare

[anto_zoolander]

$int1/(4x^2+5)dx$

come diceva @andar raccogli 5 a denominatore $int1/(5(4/5x^2+1))dx$

beh ora $4/5=(2/sqrt5)^2$ e dalla proprietà delle potenze dove 'due potenze che hanno per esp... ecc'

$1/5int1/((2/sqrt5x)^2+1)dx$

cosa ti sembra? una volta individuato 'cosa sembra', cosa manca per concludere?

edit: niente verrò sempre preceduto

@simon un consiglio: evita le cose a memoria, le formule, etc. La matematica liceale delle formule è abbastanza evanescente

[simonsays92]

Oppure volendo applicare quella formula si può sempre riscrivere la funzione da integrare come: $1/((sqrt(4)*x+sqrt(4)*0)^2 + (sqrt(5))^2)$, vero?

"anto_zoolander":

@simon un consiglio: evita le cose a memoria, le formule, etc. La matematica liceale delle formule è abbastanza evanescente

Magari avessi fatto un liceo

[andar9896]

Questa fantomatica formula (che non conoscevo) si applica nel caso la funzione sia del tipo
$1/((x+m)^2+k^2)$ dunque prima di tutto raccogliamo quel 4:
$int 1/4 1/(x^2+5/4) dx$ dove $m=0$ e $k=sqrt5/2$

[anto_zoolander]

"SimonSays92":... Magari avessi fatto un liceo

non guardarla come una cosa negativa

"SimonSays92":Oppure volendo applicare quella formula si può sempre riscrivere la funzione da integrare come: 1(4√⋅x+4√⋅0)2+(5√)2, vero?

No. Considera che $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ nel tuo caso dove lo trovi il doppio prodotto?

Il metodo del completamento del quadrato consiste appunto nello scrivere qualcosa come un quadrato perfetto.
$4x^2+5=(2x)^2+(sqrt5)^2$ beh il doppio prodotto dovrebbe essere $2(2xsqrt5)$ e possiamo ottenerlo aggiungendo e togliendo questa quantità, ovvero: $4x^2+4xsqrt5+5-4xsqrt5=(2x+sqrt5)^2-4xsqrt5$ il che non mi sembri portare a una strada particolarmente amica.

Per la formula mi ha anticipato @andar, come sempre