Integrale facilotto
Vi chiedo perdono per la domanda banale, però vorrei che qualcuno mi spiegasse come risolvere il seguente integrale.
$int_0^2 (1/(x+1)-1/(x+2))dx$
in particolare mi interessa il procedimento per trovare la primitiva di $(1/(x+1)-1/(x+2))$
$int_0^2 (1/(x+1)-1/(x+2))dx$
in particolare mi interessa il procedimento per trovare la primitiva di $(1/(x+1)-1/(x+2))$
Risposte
Allora... Ti posso dire che per calcolare
primitive di funzioni ci vuole sempre un po' di intuito.
In questo caso, puoi osservare che $1/(x+1)$ è
la derivata di una certa funzione... Guarda bene
cosa compare al numeratore della frazione e cosa
compare al denominatore. Stesso discorso per la frazione $1/(x+2)$.
Poi sai ovviamente che l'integrale di una somma
di funzioni è uguale alla somma degli integrali,
questo perché l'integrale è un operatore lineare.
Inoltre ti ricordo che almeno quando vai a calcolare
gli integrali definiti, il $dx$ ce lo devi aggiungere per forza... Poi capirai perché.
primitive di funzioni ci vuole sempre un po' di intuito.
In questo caso, puoi osservare che $1/(x+1)$ è
la derivata di una certa funzione... Guarda bene
cosa compare al numeratore della frazione e cosa
compare al denominatore. Stesso discorso per la frazione $1/(x+2)$.
Poi sai ovviamente che l'integrale di una somma
di funzioni è uguale alla somma degli integrali,
questo perché l'integrale è un operatore lineare.
Inoltre ti ricordo che almeno quando vai a calcolare
gli integrali definiti, il $dx$ ce lo devi aggiungere per forza... Poi capirai perché.
Fireball ha già detto tutto, tranne il risultato ovviamente .
Io posso aggiungere che anche $int ((2x+3)/(x^2+3x))*dx $ è dello stesso tipo di quelli da te indicati ma un po' " composto " , ma il concetto è lo stesso ; osserva che relazione c'è tra la funzione al denominatore e quella al numeratore.
Io posso aggiungere che anche $int ((2x+3)/(x^2+3x))*dx $ è dello stesso tipo di quelli da te indicati ma un po' " composto " , ma il concetto è lo stesso ; osserva che relazione c'è tra la funzione al denominatore e quella al numeratore.
@ eafkuor : ci sei ?
Oh si eccomi..
Allora, per il $dx$ avete ragione, me lo sono scordato
Forse la primitiva di $1/(x+1)$ è $log(x+1)$? (no)
Cosa intendete per "vedi che rapporto c'è tra il numeratore e il denominatore"?
Allora, per il $dx$ avete ragione, me lo sono scordato
Forse la primitiva di $1/(x+1)$ è $log(x+1)$? (no)
Cosa intendete per "vedi che rapporto c'è tra il numeratore e il denominatore"?
Se fai la derivata di $x^2+3x$ che ottieni?
"eafkuor":
Oh si eccomi..
Allora, per il $dx$ avete ragione, me lo sono scordato
Forse la primitiva di $1/(x+1)$ è $log(x+1)$? (no)
E' lei
"eafkuor":
Cosa intendete per "vedi che rapporto c'è tra il numeratore e il denominatore"?
Quando devi trovare la primitiva di una funzione, devi osservare appunto il numeratore in rapporto al denominatore.
Ad esempio, nell'integrale postato da camillo, se ci fai caso la funzione al numeratore è la derivata di quella al numeratore; da questo puoi osservare che:
$D(ln(x^2+3x)) = (1/(x^2+3x))D(x^2+3x) = 1/(x^2+3x)(2x+3) $
Quindi osservando il rapporto tra numeratore e denominatore puoi trovare facilmente la primitiva di questo tipo di integrali
@ eafkuor . hai già avuto tutte le risposte ..
quindi adesso ti sarà facile risolvere ad es . $ int( 2*(e^x))/(e^x+2)*dx $....
quindi adesso ti sarà facile risolvere ad es . $ int( 2*(e^x))/(e^x+2)*dx $....
mi è abbastanza oscuro questo passaggio, sarà che non ho praticamente mai fatto il logaritmi?
"lore":
$D(ln(x^2+3x)) = (1/(x^2+3x))D(x^2+3x)$
Basta che ricordi quale sia la derivata di $ ln x $ ; ed è $ 1/x $ ; generalizzando a funzioni composte la derivata di $ ln (f(x ) ) $ è : $ (f'(x))/f(x ) $ e quindi era proprio il caso che avevo indicato e la primitiva è : $ln( x^2+3x ) +c $.
Si, grazie, ora mi è tutto chiaro, dimenticavo che
$D(ln (f(x ) )) = (f'(x))/f(x )$
$D(ln (f(x ) )) = (f'(x))/f(x )$
Quasi immediato anche $ int tanx *dx $ ricordando che tan x = ... definizione .
E' la derivata di una composizione. In pratica consideri $ln(x^2+3x)$ come la composizione della funzione logaritmo con la funzione $x^2+3x$. Sappiamo che, essendo f e g due funzioni, risulta:
$D(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$
prendendo $f(x) = lnx$ e $g(x) = x^2 + 3x$ ricavi il passaggio di prima.
$D(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$
prendendo $f(x) = lnx$ e $g(x) = x^2 + 3x$ ricavi il passaggio di prima.
Scusate ho risposto contemporaneamente a Camillo 
; comunque se riesci a fare gli integrali che ti propone, hai capito
; comunque se riesci a fare gli integrali che ti propone, hai capito
Ok, grazie! 
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