Integrale di una funzione polinomiale fratta
Salve a tutti. Oggi mi sono imbattuto in questo integrale che sinceramente non sono riuscito a risolvere a primo impatto:
$ int(x)/(2x^2+x+1)dx $
la prima cosa che ho pensato di fare è quella di far comparire la derivata del denominatore:
$ 1/4int(4x)/(2x^2+x+1) dx$
$ 1/4int(4x+1-1)/(2x^2+x+1)dx $
$ 1/4int(4x+1)/(2x^2+x+1)dx-1/4\int(1)/(2x^2+x+1) dx$
quindi (ometto il valore assoluto nel logaritmo perchè quantità sempre positiva)
$ 1/4ln(2x^2+x+1)+c_1-1/4\int(1)/(2x^2+x+1)dx $
a questo punto scriverei
$ 2x^2+x+1=2((x+1/4)^2+7/16) $
quindi:
$ (2*7/16)(((x+1/4)/sqrt(7/16))^2+1) $
e il secondo integrale l'integrale mi diventa:
$ -2/7\int 1/((((x+1/4)/sqrt(7/16))^2+1) )dx $
$ -2/7*sqrt(7/16)\int 1/((((x+1/4)/sqrt(7/16))^2+1) )d(x+1/4)/(sqrt(7/16)) $
$ -1/(2sqrt7)\int 1/((((x+1/4)/sqrt(7/16))^2+1) )d(x+1/4)/(sqrt(7/16)) $
$ -1/(2sqrt7)arctg((4x+1)/sqrt7) +c_2 $
in definitiva ottengo:
$ 1/4ln(2x^2+x+1)-1/(2sqrt7)arctg((4x+1)/sqrt7) +c $
Insomma, ci ho perso la testa per questo integrale...ma c'è un metodo più immediato? Si può usare una decomposizione in fratti semplici che semplifichi un poco la vita? Cosa fare quando si incontra un integrale così, da dove iniziare a cercare una strada risolutiva
? Grazie !
$ int(x)/(2x^2+x+1)dx $
la prima cosa che ho pensato di fare è quella di far comparire la derivata del denominatore:
$ 1/4int(4x)/(2x^2+x+1) dx$
$ 1/4int(4x+1-1)/(2x^2+x+1)dx $
$ 1/4int(4x+1)/(2x^2+x+1)dx-1/4\int(1)/(2x^2+x+1) dx$
quindi (ometto il valore assoluto nel logaritmo perchè quantità sempre positiva)
$ 1/4ln(2x^2+x+1)+c_1-1/4\int(1)/(2x^2+x+1)dx $
a questo punto scriverei
$ 2x^2+x+1=2((x+1/4)^2+7/16) $
quindi:
$ (2*7/16)(((x+1/4)/sqrt(7/16))^2+1) $
e il secondo integrale l'integrale mi diventa:
$ -2/7\int 1/((((x+1/4)/sqrt(7/16))^2+1) )dx $
$ -2/7*sqrt(7/16)\int 1/((((x+1/4)/sqrt(7/16))^2+1) )d(x+1/4)/(sqrt(7/16)) $
$ -1/(2sqrt7)\int 1/((((x+1/4)/sqrt(7/16))^2+1) )d(x+1/4)/(sqrt(7/16)) $
$ -1/(2sqrt7)arctg((4x+1)/sqrt7) +c_2 $
in definitiva ottengo:
$ 1/4ln(2x^2+x+1)-1/(2sqrt7)arctg((4x+1)/sqrt7) +c $
Insomma, ci ho perso la testa per questo integrale...ma c'è un metodo più immediato? Si può usare una decomposizione in fratti semplici che semplifichi un poco la vita? Cosa fare quando si incontra un integrale così, da dove iniziare a cercare una strada risolutiva
? Grazie !
Risposte
Mi sembra tutto ok, purtroppo quando il $\Delta$ è minore di 0, quell'equazione non si può scomporre e bisogna fare tutti sti calcoli.
Solo una cosa ti dico per far prima..quando sei qui
c'è una formula per fare più veloce, te la scrivo in generale
$\int (1)/(1+((ax+b)/(c))^2)dx= c/a \arctan((ax+b)/(c))+C$
tutto qui
Solo una cosa ti dico per far prima..quando sei qui
"floriano94":
e il secondo integrale l'integrale mi diventa:
$ -2/7\int 1/((((x+1/4)/sqrt(7/16))^2+1) )dx $
c'è una formula per fare più veloce, te la scrivo in generale
$\int (1)/(1+((ax+b)/(c))^2)dx= c/a \arctan((ax+b)/(c))+C$
tutto qui
"21zuclo":
c'è una formula per fare più veloce, te la scrivo in generale
$\int (1)/(1+((ax+b)/(c))^2)dx= c/a \arctan((ax+b)/(c))+C$
tutto qui
grazie mille, il problema come al solito è ricordarle al momento giusto queste formule
In ogni caso a livello di lunghezza non semplifica enormemente la vita..comunque può tornare utile 
purtroppo con gli integrali bisogna fare esercizi su esercizi.
E se poi fai il liceo scientifico e vorrai andare all'università corso di laurea in Fisica o Matematica, gli integrali bisogna saperli bene, soprattutto quando incontreranno le equazioni differenziali.
Fai esercizi su esercizi..
E se poi fai il liceo scientifico e vorrai andare all'università corso di laurea in Fisica o Matematica, gli integrali bisogna saperli bene, soprattutto quando incontreranno le equazioni differenziali.
Fai esercizi su esercizi..
"21zuclo":
purtroppo con gli integrali bisogna fare esercizi su esercizi.
E se poi fai il liceo scientifico e vorrai andare all'università corso di laurea in Fisica o Matematica, gli integrali bisogna saperli bene, soprattutto quando incontreranno le equazioni differenziali.
Fai esercizi su esercizi..
Eh si, in ogni caso non sono mai capitati integrali del genere alla maturità, anche se ce ne sono indubbiamente di più difficili
"floriano94":
[quote="21zuclo"]purtroppo con gli integrali bisogna fare esercizi su esercizi.
E se poi fai il liceo scientifico e vorrai andare all'università corso di laurea in Fisica o Matematica, gli integrali bisogna saperli bene, soprattutto quando incontreranno le equazioni differenziali.
Fai esercizi su esercizi..
Eh si, in ogni caso non sono mai capitati integrali del genere alla maturità, anche se ce ne sono indubbiamente di più difficili
[/quote]io non lo so che integrali ci sono alla prova di maturità del liceo scientifico, perchè io ho fatto ragioneria alle superiori. XD
"21zuclo":
io non lo so che integrali ci sono alla prova di maturità del liceo scientifico, perchè io ho fatto ragioneria alle superiori. XD
Sincerely, non ricordo di integrali nella seconda prova dello scientifico quanto è toccato a me (parlo di AA 2005-2006... [size=80]mamma mia quanto sono vecchio![/size]), però ricordo che in uno dei due quesiti si trattava - tra l'altro - di trovare il volume di una figura generata dalla rotazione di non ricordo quale curva: dunque un bell'integrale anche se opportunamente nascosto.
si , molto spesso capitano volumi di solidi di rotazione,come l'anno scorso, parlo per il PNI
"floriano94":
si , molto spesso capitano volumi di solidi di rotazione,come l'anno scorso, parlo per il PNI
Sono uscito dal PNI [size=80](all'epoca)[/size].
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