Integrale di un modulo
questa domanda doveva arriva prima o poi.
ero lì immerso nei miei pensieri e avevo $int_{0}^{3}|x-1|dx$ insomma una fesseria.
Ora in generale $int|f(x)|dx=F(x)sign(f(x))+c$
ora la integro in due modi:
$int_{0}^{3}|x-1|dx=[(x-1)^2/2sign(x-1)]_{0}^{3}=5/2$ che è il risultato corretto.
$int_{0}^{3}|x-1|dx=[(int(x-1)dx)sign(x-1)]_{0}^{3}$
$[(int(x-1)dx)sign(x-1)]_{0}^{3}=[(x^2/2-x)sign(x-1)]_{0}^{3}=3/2$ che è sbagliato.
secondo me il problema sta in qualche costante.
ero lì immerso nei miei pensieri e avevo $int_{0}^{3}|x-1|dx$ insomma una fesseria.
Ora in generale $int|f(x)|dx=F(x)sign(f(x))+c$
ora la integro in due modi:
$int_{0}^{3}|x-1|dx=[(x-1)^2/2sign(x-1)]_{0}^{3}=5/2$ che è il risultato corretto.
$int_{0}^{3}|x-1|dx=[(int(x-1)dx)sign(x-1)]_{0}^{3}$
$[(int(x-1)dx)sign(x-1)]_{0}^{3}=[(x^2/2-x)sign(x-1)]_{0}^{3}=3/2$ che è sbagliato.
secondo me il problema sta in qualche costante.
Risposte
L'integrale deve essere una funzione continua: la prima forma lo è, la seconda no.
In fondo, come dici, è un problema di costanti.
Ciao
B.
In fondo, come dici, è un problema di costanti.
Ciao
B.
Si ho notato: $[(x-1)^2sign(x-1)]_{0}^{3}=[(x-1)|x-1|]_{0}^{3}$
Mm.. Il fatto dell'essere continua da cosa deriva? Cioè dall'integrabilità di $f$?
Mm.. Il fatto dell'essere continua da cosa deriva? Cioè dall'integrabilità di $f$?
Il Teorema di Torricelli-Barrow dovrebbe bastare.
Ciao
B.
Ciao
B.
per essere $F'(x)=D[int_{a}^{x}f(t)dt]=f(x)$ derivabile
$F(x)=int_{a}^{x}f(t)dt$ deve essere continua e la continuità della funzione integrale mi sfugge.
$F(x)=int_{a}^{x}f(t)dt$ deve essere continua e la continuità della funzione integrale mi sfugge.
"anto_zoolander":
...deve essere continua e la continuità della funzione integrale mi sfugge.
Scusami, ma non riesco a capire cosa ti sfugge.
Ciao
B.
Si mi sono espresso malissimo.
in poche parole essendo la funzione modulo continua su tutto $RR$ deve esserlo anche la sua primitiva, e quindi giustamente il secondo esempio non lo è.
EDIT:
$int|f(x)|dx=(F(x)+c_1)sign(f(x))+c_2$ a questo punto non potrei considerare la costante lì dentro ed imporre la continuità?
Oppure $int_{0}^{2pi}|sinx|dx=[(-cosx)sign(sinx)]_{0}^{2pi}$ la funzione è discontinua.
Mentre se considerassi $[(-cosx+c)sign(sinx)]_{0}^{2pi}$ con $c=-1$ la funzione sarebbe continua su $[0,2pi]$
$int_{0}^{2pi}|sinx|dx=$
$[(-cosx-1)(sinx)]_{0}^{pi}+[(-cosx-1)sign(sinx)]_{pi}^{2pi}$
$-(cosx+1)sinx/|sinx|=-(cosx+1)(sinx|sinx|)/((1-cosx)(1+cosx))=-(sinx|sinx|)/(1-cosx)$
Che è continua su $(0,2pi)$. Tornando all'integrale:
L'altro integrale viene sempre $2$ e quindi il risultato è $4$.
È corretto il ragionamento delle costanti?
in poche parole essendo la funzione modulo continua su tutto $RR$ deve esserlo anche la sua primitiva, e quindi giustamente il secondo esempio non lo è.
EDIT:
$int|f(x)|dx=(F(x)+c_1)sign(f(x))+c_2$ a questo punto non potrei considerare la costante lì dentro ed imporre la continuità?
Oppure $int_{0}^{2pi}|sinx|dx=[(-cosx)sign(sinx)]_{0}^{2pi}$ la funzione è discontinua.
Mentre se considerassi $[(-cosx+c)sign(sinx)]_{0}^{2pi}$ con $c=-1$ la funzione sarebbe continua su $[0,2pi]$
$int_{0}^{2pi}|sinx|dx=$
$[(-cosx-1)(sinx)]_{0}^{pi}+[(-cosx-1)sign(sinx)]_{pi}^{2pi}$
$-(cosx+1)sinx/|sinx|=-(cosx+1)(sinx|sinx|)/((1-cosx)(1+cosx))=-(sinx|sinx|)/(1-cosx)$
Che è continua su $(0,2pi)$. Tornando all'integrale:
$lim_(z->0^+)-[(sinx|sinx|)/(1-cosx)]_{z}^{pi}$
$-[0]+[z^2/(1-cosz)*sinz/z*|sinz|/|z|]=2$
$-[0]+[z^2/(1-cosz)*sinz/z*|sinz|/|z|]=2$
L'altro integrale viene sempre $2$ e quindi il risultato è $4$.
È corretto il ragionamento delle costanti?
Anto, ho visto che, in un'altra discussione, dici di essere in attesa di una risposta. Però se editi i messaggi che hai postato è sostanzialmente impossibile che qualcuno se ne renda conto quando entra nella sezione, ed allora, a meno di divertirsi a rileggere, non avrà motivo di intervenire ulteriormente.
Dunque per fare un sunto, magari approssimato: la funzione integrale $ F(x)=\int_a^x f(t)dt $ deve essere continua e deve essere $ F(a)=0 $.
Queste due condizioni ti permettono di trattare agevolmente le situazioni in cui $ f(t) $ sia definita a tratti, ricavando le costanti, una per ciascun tratto, opportune, che sono univocamente determinate.
Che poi queste costanti si possano esprimere in forma compatta o, in qualche caso, non siano evidenti, in quanto valgono $ 0 $, è un altro discorso.
Ad esempio, è $ \int_0^x |sin(t)| dt=-cos(x)sign(sin(x))+1+2 |__ \frac x \pi __| $.
La continuità di $ f(t) $ comporta che sia integrabile ma, come hai giustamente osservato, non è una condizione necessaria.
Ciao
B.
Dunque per fare un sunto, magari approssimato: la funzione integrale $ F(x)=\int_a^x f(t)dt $ deve essere continua e deve essere $ F(a)=0 $.
Queste due condizioni ti permettono di trattare agevolmente le situazioni in cui $ f(t) $ sia definita a tratti, ricavando le costanti, una per ciascun tratto, opportune, che sono univocamente determinate.
Che poi queste costanti si possano esprimere in forma compatta o, in qualche caso, non siano evidenti, in quanto valgono $ 0 $, è un altro discorso.
Ad esempio, è $ \int_0^x |sin(t)| dt=-cos(x)sign(sin(x))+1+2 |__ \frac x \pi __| $.
La continuità di $ f(t) $ comporta che sia integrabile ma, come hai giustamente osservato, non è una condizione necessaria.
Ciao
B.
In realtà non ho modificato, l'EDIT del post è stata un'aggiunzione. 
Comunque grazie mille della risposta ora ci ragiono per bene
Ps: è sbagliato il ragionamento che ho fatto sulle costanti?
Comunque grazie mille della risposta ora ci ragiono per bene
Ps: è sbagliato il ragionamento che ho fatto sulle costanti?
"anto_zoolander":
Ps: è sbagliato il ragionamento che ho fatto sulle costanti?
Non vedo errori sostanziali, anche se mi pare eccessivamente involuto.
La questione di fondo resta la scarsa sintonia fra le nostre maniere di procedere. Questo non vuol dire che ritenga migliore quel che ti propongo rispetto a ciò che sostieni tu.
Spezzare l'integrale definito in una somma di integrali, utilizzando i punti in cui possono sorgere problemi, funziona sicuramente.
Ciao
B.
No ma infatti volevo integrarlo senza spezzarlo. Tutto quì. Volebo appurare entrambe le cose 
@anto_zoolander: posso sbagliare ma mi sembra che qua:
dove la funzione $sgn(x-1)$ assume il ruolo di $g(x)$ e quindi dài per implicito che sia a derivata nulla, visto che non compare l'ultimo integrale della formula.
L'abuso sta nel fatto che la funzione $sgn(x-1)$ non è derivabile in $x=1$ (non è nemmeno continua), per cui le posizioni potrebbero a mio avviso essere due:
- affermare che l'integrazione per parti non è lecita, non esistendo $g'(x)$ almeno in un punto dell'intervallo $[0,3]$,
oppure:
- ricorrere alla teoria delle distribuzioni, sulla quale confesso che sono passati diversi decenni da quando la maneggiavo e quindi è estremamente probabile che dica qualche amenità (nel qual caso sarei grato a chi mi correggesse), che ammette che una funzione a scalino come $sgn(x)$ abbia come derivata la distribuzione $delta(x)$ di Dirac, quella sorta di gaussiana infinitamente alta e stretta caratterizzata dal fatto che :
In tal caso:
$int_{0}^{3}|x-1|dx=[(int(x-1)dx)sign(x-1)]_{0}^{3}-int_0^3(x^2/2-x)delta(x-1)dx=3/2-(1/2-1)=5/2$.
Confido in correzioni di quanto ho scritto.
"anto_zoolander":tu commetta un abuso. L'impressione è che quanto scrivi sia il risultato di un'integrazione per parti,
$int_{0}^{3}|x-1|dx=[(int(x-1)dx)sign(x-1)]_{0}^{3}$
$int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-intF(x)g'(x)dx$
, dove la funzione $sgn(x-1)$ assume il ruolo di $g(x)$ e quindi dài per implicito che sia a derivata nulla, visto che non compare l'ultimo integrale della formula.
L'abuso sta nel fatto che la funzione $sgn(x-1)$ non è derivabile in $x=1$ (non è nemmeno continua), per cui le posizioni potrebbero a mio avviso essere due:
- affermare che l'integrazione per parti non è lecita, non esistendo $g'(x)$ almeno in un punto dell'intervallo $[0,3]$,
oppure:
- ricorrere alla teoria delle distribuzioni, sulla quale confesso che sono passati diversi decenni da quando la maneggiavo e quindi è estremamente probabile che dica qualche amenità (nel qual caso sarei grato a chi mi correggesse), che ammette che una funzione a scalino come $sgn(x)$ abbia come derivata la distribuzione $delta(x)$ di Dirac, quella sorta di gaussiana infinitamente alta e stretta caratterizzata dal fatto che :
$int_a^b f(x)delta(x-k)dx=f(k)" "$, se $k$ è interno all'intervallo $[a,b]$ ,
mentre è: $" "int_a^b f(x)delta(x-k)dx=0" "$ viceversa.
mentre è: $" "int_a^b f(x)delta(x-k)dx=0" "$ viceversa.
In tal caso:
$int_{0}^{3}|x-1|dx=[(int(x-1)dx)sign(x-1)]_{0}^{3}-int_0^3(x^2/2-x)delta(x-1)dx=3/2-(1/2-1)=5/2$.
Confido in correzioni di quanto ho scritto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo