Integrale di radice
Ciao, amici!
Vorrei sottoporre a chi si vuole divertire a calcolarlo un integrale che mi sta disorientando (formulo la radice come esponente frazionario per chiarire che sia nominatore sia denominatore sono sotto radice):
$\int ((3-2x)/(4+x))^(1/2) dx$
Sostituendo y a $ ((3-2x)/(4+x))^(1/2)=y$ direi che $x=(3-4y^2)/(y^2+2)$, quindi, simbolicamente, abbiamo che $dx=((3-4y^2)/(y^2+2))^{\prime} dy= (-22y)/(y^2+2)^2 dy$.
Perciò direi che $\int ((3-2x)/(4+x))^(1/2) dx = \int y ((-22y)/(y^2+2)^2) dy = \int (-22y^2)/(y^2+2)^2 dy $
Qua provo a scomporre la funzione integranda in addendi del tipo $(2Ay+B)/(y^2+2)+(2Cy+D)/(y^2+2)$ e in vari altri modi simili, ma mi risulta sempre impossibile trovare degli A, B, C e D adeguati...
Qualcuno ha idee?
Ciao e grazie di cuore a tutti!
Davide
Vorrei sottoporre a chi si vuole divertire a calcolarlo un integrale che mi sta disorientando (formulo la radice come esponente frazionario per chiarire che sia nominatore sia denominatore sono sotto radice):
$\int ((3-2x)/(4+x))^(1/2) dx$
Sostituendo y a $ ((3-2x)/(4+x))^(1/2)=y$ direi che $x=(3-4y^2)/(y^2+2)$, quindi, simbolicamente, abbiamo che $dx=((3-4y^2)/(y^2+2))^{\prime} dy= (-22y)/(y^2+2)^2 dy$.
Perciò direi che $\int ((3-2x)/(4+x))^(1/2) dx = \int y ((-22y)/(y^2+2)^2) dy = \int (-22y^2)/(y^2+2)^2 dy $
Qua provo a scomporre la funzione integranda in addendi del tipo $(2Ay+B)/(y^2+2)+(2Cy+D)/(y^2+2)$ e in vari altri modi simili, ma mi risulta sempre impossibile trovare degli A, B, C e D adeguati...
Qualcuno ha idee?
Ciao e grazie di cuore a tutti!
Davide
Risposte
"DavideGenova":
Qua provo a scomporre la funzione integranda in addendi del tipo $(2Ay+B)/(y^2+2)+(2Cy+D)/(y^2+2)$ e in vari altri modi simili, ma mi risulta sempre impossibile trovare degli A, B, C e D adeguati...
ciao
scomponi così:
[tex]$\frac{{Ax + B}}{{y^2 + 2}} + \frac{{Cx + D}}{{(y^2 + 2)^2 }}$[/tex]
con qualche calcolo trovi [tex]A=0[/tex]; [tex]B=-22[/tex]; [tex]C=0[/tex]; [tex]D=44[/tex]
Sei nel caso in cui la funzione integranda ha a denominatore un polinomio di secondo grado non scomponibile ed elevato a potenza e il numeratore ha grado inferiore al denominatore. Ci sono formule che abbreviano i calcoli, ma per evitarmi la fatica di ricordarle io faccio le sostituzioni necessarie affinchè il denominatore sia nella forma $(t^2+1)^n$ e poi ricordo che l'integrale è del tipo
$(P(t))/(t^2+1)^(n-1)+Aln(t^2+1)+Barctg t+C$
in cui $P(t)$ è un polinomio a coefficienti sconosciuti, di grado inferiore al denominatore. Eguagli la derivata di questo risultato alla funzione integranda ed applichi il principio di identità dei polinomi per determinare i vari coefficienti.
$(P(t))/(t^2+1)^(n-1)+Aln(t^2+1)+Barctg t+C$
in cui $P(t)$ è un polinomio a coefficienti sconosciuti, di grado inferiore al denominatore. Eguagli la derivata di questo risultato alla funzione integranda ed applichi il principio di identità dei polinomi per determinare i vari coefficienti.
Grazie di cuore, amici!!!
È stato un po' laborioso, ma ci sono riuscito, grazie al vostro aiuto!
$\int ((3-2x)/(4+x))^(1/2) dx = \int y ((-22y)/(y^2+2)^2) dy = \int (-22y^2)/(y^2+2)^2 dy = -11sqrt(2)arctg (y/(sqrt(2))) + \int 44/(y^2+2)^2 dy = -11sqrt(2)arctg (y/(sqrt(2))) + 11sqrt(2)/2arctg(y/(sqrt(2))) + 11\int(-y^2+2)/((y^2+2)^2) dy$
$= -11sqrt(2)/2arctg(y/sqrt(2)) + y/(y^2+2) = -11sqrt(2)/2arctg(sqrt(3-2x)/sqrt(8+2x))+sqrt((3-2x)(4+x)) + C$
Ciao a tutti!!!
Davide
È stato un po' laborioso, ma ci sono riuscito, grazie al vostro aiuto!
$\int ((3-2x)/(4+x))^(1/2) dx = \int y ((-22y)/(y^2+2)^2) dy = \int (-22y^2)/(y^2+2)^2 dy = -11sqrt(2)arctg (y/(sqrt(2))) + \int 44/(y^2+2)^2 dy = -11sqrt(2)arctg (y/(sqrt(2))) + 11sqrt(2)/2arctg(y/(sqrt(2))) + 11\int(-y^2+2)/((y^2+2)^2) dy$
$= -11sqrt(2)/2arctg(y/sqrt(2)) + y/(y^2+2) = -11sqrt(2)/2arctg(sqrt(3-2x)/sqrt(8+2x))+sqrt((3-2x)(4+x)) + C$
Ciao a tutti!!!
Davide
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