Integrale di funzione razionale

[Lucked]

Ciao a tutti, ho questo integrale: $ int dx /(x^3*(x+1) $

Ho fatto questa scomposizione in fratti semplici(E' corretta?):

$ 1/(x^3*(x+1)) = A/(x+1) + B/x^3 + C/x^2 + D/x $

ma non arrivo al risultato che è:

$ -1/2*1/x^2+1/x + log |x| - log|x+1| + C $

Potete controllare? grz

[Lucked]

Poi ho questo integrale da risolvere.

$ int dx /((x-1)(x^2+1)) $

Mi potete spiegare solo come si fa la scomposizione in fratti semplici,
magari con un minimo di spiegazione? Grz.

[chiaraotta1]

$ 1/(x^3*(x+1)) =- 1/(x + 1) + 1/x^3 - 1/x^2 + 1/x$

[chiaraotta1]

$1 /((x-1)(x^2+1))=$
$- x/(2·(x^2 + 1)) - 1/(2·(x^2 + 1)) + 1/(2·(x - 1))$

[Lucked]

Riguardo al primo integrale i miei passaggi sono stati questi:

$... = (Ax^6+B(x+1)(x^3)+C(x+1)(x^4)+D(x+1)(x^5))/((x+1)*(x^3)(x^2)(x)) $

ovvero:

$ 1 = Ax^6+B(x^4+x^3)+C(x^5+x^4)+D(x^6+x^5) $

$ 1 = Ax^6+Bx^4+Bx^3+Cx^5+Cx^4+Dx^6+Dx^5 $

$ 1 = x^6(A+D) + x^5(C+D) + x^4(B+C)+Bx^3 $

io sono arrivato qui, ora non ho capito come impostare e risolvere il sistema(se fosse giusto)

Invece Chiaraotta non ho capito il tuo procedimento, puoi provare a spiegarlo? grz

[axpgn]

A questo link (http://www.math.umass.edu/~chong/m331/p ... action.pdf) trovi una spiegazione su come scomporre una funzione razionale fratta in frazioni parziali.
Spero ti sia utile.
Cordialmente, Alex

[axpgn]

"Closmu":Riguardo al primo integrale i miei passaggi sono stati questi:

$... = (Ax^6+B(x+1)(x^3)+C(x+1)(x^4)+D(x+1)(x^5))/((x+1)*(x^3)(x^2)(x)) $

... ma il denominatore che hai messo non è il m.c.m. dei denominatori ma il prodotto dei denominatori; formalmente va bene lo stesso, ma ti complichi la vita inutilmente ... difatti dall'altro lato dell'uguaglianza ( cioè $1$ ) hai semplificato in modo sbagliato perché hai dato per scontato che i denominatori fossero uguali; ma così non è, secondo il tuo procedimento.

"Closmu":$ 1 = x^6(A+D) + x^5(C+D) + x^4(B+C)+Bx^3 $

io sono arrivato qui, ora non ho capito come impostare e risolvere il sistema(se fosse giusto)

Due polinomi sono uguali solo se sono uguali i coefficienti dei monomi simili, quindi devi uguagliare i coefficienti dei monomi simili: tu ne hai quattro $x^3, x^2, x^1, x^0$; ok?
Ricordati che anche $1$ è un polinomio, e anche da quel lato i monomi simili sono quattro, e quindi quattro coefficienti.


Cordialmente, Alex

[Lucked]

grazie , per il secondo integrale proposto qualcuno saprebbe risolverlo?

[axpgn]

Premesso che chiaraotta l'ha già risolto, la tecnica di risoluzione è la stessa. Hai letto il link che ti ho messo? Rileggilo e se hai dei dubbi, ne riparliamo.
Cordialmente, Alex