Integrale definito e disuguaglianza, esercizio

[Steven11]

Un esercizietto che ha ritardato, insieme a questo topic, l'ora della nanna

Sia
$f(x)=sqrt(x+1)*e^(-x)$

Considerata la successione
$u_n=int_n^(n+1) f(t) dt$
mostrare che vale
$f(n+1)<= u_n<=f(n) \quad\quad\quad forallninNN$

Alla portata di tutti.
Almeno vedo se ho fatto bene o se c'erano altre vie

Buonanotte.

[_prime_number]

Mi è stato comunicato che l'intenzione di questo topic era di postare un esercizio per i maturandi!:-D
Dunque metto in spoiler la mia soluzione!

Dunque, io farei così: considero l'intervallo $[n,n+1]$, con $n$ fissato; derivando la funzione si vede che in $RR^+$ (e dunque anche nel mio intervallo) è monotona descrescente $\rightarrow f(n+1)<=f(n)$.

Ora, usando la nota disuguaglianza $s(\sigma) <= \int_{a}^{b} f(x)dx <= S(\sigma)$, dove $s(\sigma), S(\sigma)$ sono una qualunque somma inferiore e una qualunque somma superiore rispetto alla scomposizione $\sigma$ di $[a,b]$ ho che ( usando la scomposizione banale):

$f(n+1) <= u_n <= f(n)$.

Paola

[Steven11]

Ritrovato per caso.
Comunque la mia eccola

Come già detto, risulta essere
$f'(x)<0$ se $x>0$, dunque è assicurata la stretta decrescenza.

Considero ora
$u_n=int_n^(n+1) f(t)"d"t$
Per il teorema della media, deve esistere un valore $c$ tale che

$(int_n^(n+1) f(t)"d"t)/((n+1)-n)=int_n^(n+1) f(t)"d"t=f(c)$ con $n<=c<=n+1$

Vista la decrescenza della funzione, e la disuguaglianza sopra,, risulta
$f(n)>f(c)>f(n+1)$ ovvero
$f(n)>u_n>f(n+1)$

Ciao.