Integrale definito dal punto di vista algebrico
Salve a tutti, ho un dubbio che credo di aver risolto ma mi servirebbero delle certezze da chi ne sa più di me. L'integrale definito di una funzione da come risultato il valore dell'area di una parte di piano delimitata dalla funzione stessa e sottesa a x. Vorrei sapere, dal punto di vista prettamente algebrico, il perchè.
Se la risposta alla mia domanda è "teorema fondamentale del calcolo integrale" vuol dire che è tutto chiaro se non è così mi piacerebbe sapere allora come è possibile dal punto di vista dei calcoli che fare l'integrale di una funzione significa calcolarne l'area in una data regione.
Grazie mille in anticipo
Se la risposta alla mia domanda è "teorema fondamentale del calcolo integrale" vuol dire che è tutto chiaro se non è così mi piacerebbe sapere allora come è possibile dal punto di vista dei calcoli che fare l'integrale di una funzione significa calcolarne l'area in una data regione.
Grazie mille in anticipo
Risposte
Stai un po' confondendo le cose. L'integrale storicamente nasce dal problema del calcolo di un'area.
Tu forse volevi capire come si riconduce il problema del calcolo di un'area al problema della ricerca di una primitiva... E' così?
Tu forse volevi capire come si riconduce il problema del calcolo di un'area al problema della ricerca di una primitiva... E' così?
Nono vorrei sapere dal punto di vista dei calcoli come è possibile che fare l'integrale di una funzione in un dato intervallo significa calcolare l'area della suddetta funzione nel suddetto intervallo? Ripeto solo dal punto di vista del calcolo algebrico.
"gianni.erario":
Nono vorrei sapere dal punto di vista dei calcoli come è possibile che fare l'integrale di una funzione in un dato intervallo significa calcolare l'area della suddetta funzione nel suddetto intervallo? Ripeto solo dal punto di vista del calcolo algebrico.
Allora devi spiegare cosa significa "fare l'integrale"...
intendo calcolare l'integrale definito
... E come lo calcoli questo integrale definito?
Ok ricomincio da capo perchè credo di non essere stato chiaro fin dall'inizio.
La mia perplessità è puramente algebrica voglio ribadire nuovamente questo concetto.
Ciò che voglio dire è questo:
se ho una $ f(x) $ - continua e derivabile - posso calcolare la regione di piano compresa tra $ a $ e $ b $ mediante questa formula:
$ int_(a)^(b) f(x) dx $
la mia domanda è la seguente:
perchè quando calcolo quell'integrale ottengo un valore che quantifica la regione di piano compresa tra $ a $ e $ b $? Riformulo: perchè risolvendo quell'integrale sto calcolando un'area, o meglio, perchè i due valori dal punto di vista algebrico coincidono?
La mia perplessità è puramente algebrica voglio ribadire nuovamente questo concetto.
Ciò che voglio dire è questo:
se ho una $ f(x) $ - continua e derivabile - posso calcolare la regione di piano compresa tra $ a $ e $ b $ mediante questa formula:
$ int_(a)^(b) f(x) dx $
la mia domanda è la seguente:
perchè quando calcolo quell'integrale ottengo un valore che quantifica la regione di piano compresa tra $ a $ e $ b $? Riformulo: perchè risolvendo quell'integrale sto calcolando un'area, o meglio, perchè i due valori dal punto di vista algebrico coincidono?
"Seneca":
Stai un po' confondendo le cose. L'integrale storicamente nasce dal problema del calcolo di un'area.
Tu forse volevi capire come si riconduce il problema del calcolo di un'area al problema della ricerca di una primitiva... E' così?
gianni.erario, secondo me dovresti rispondere affermativo.
"gianni.erario":
se ho una $ f(x) $ - continua e derivabile - posso calcolare la regione di piano compresa tra $ a $ e $ b $ mediante questa formula:
$ int_(a)^(b) f(x) dx $
Hai una confusione tremenda in testa.
Prima di tutto [tex]$ \int_{a}^{b} f(x) dx $[/tex] è un simbolo, non una formula. Sai come è definito precisamente?
"speculor":
[quote="Seneca"]Stai un po' confondendo le cose. L'integrale storicamente nasce dal problema del calcolo di un'area.
Tu forse volevi capire come si riconduce il problema del calcolo di un'area al problema della ricerca di una primitiva... E' così?
gianni.erario, secondo me dovresti rispondere affermativo.[/quote]
Infatti... Credo anche io che il problema sia lì.
Si scusa - avevo letto male prima - è quello che intendevo : "come si riconduce il problema del calcolo di un'area al problema della ricerca di una primitiva"
"gianni.erario":
Si scusa - avevo letto male prima - è quello che intendevo : "come si riconduce il problema del calcolo di un'area al problema della ricerca di una primitiva"
Teorema fondamentale del calcolo.
Secondo me invece [non vogliatemene 
] Seneca e speculor non hanno risposto a quello che volevi sapere.. Provo io, poi fammi sapere se ho azzeccato
Tu vuoi sapere perché se calcoli il valore di un integrale definito ti esce un numero che è uguale all'estensione dell'area [con segno] che il grafico della funzione sottende. O almeno, questo è ciò che ho capito.
Allora, la risposta sta tutta nella definizione di integrale, che ho cercato di scrivere poco fa ma poi veniva troppo lunga ed ho cancellato.
Se vai a vedere la definizione, vedrai che il valore dell'integrale è il massimo valore della somma inferiore [cfr libro di testo] quando coincide con il minimo valore della somma superiore [idem]. Per come sono costruite le somme inferiori e superiori, puoi vedere che il significato che assumono, se riportate sul piano cartesiano, è quello di indicare la somma delle aree dei rettangoli che puoi costruire dividendo l'intervallo di integrazione in un numero qualunque di sotto-intervalli e prendendo come altezza il valore della funzione [uno qualunque] in quel sotto-intervallo.
Per farla breve, l'integrale definito è costruito storicamente come strumento per calcolare il valore con segno dell'area sottesa dal grafico di una funzione, quindi non dovrebbe sorprenderti che la sua definizione abbia proprio quel significato, non è una coincidenza!
Se guardi la definizione di integrale lo vedi in maniera evidente
] Seneca e speculor non hanno risposto a quello che volevi sapere.. Provo io, poi fammi sapere se ho azzeccato Tu vuoi sapere perché se calcoli il valore di un integrale definito ti esce un numero che è uguale all'estensione dell'area [con segno] che il grafico della funzione sottende. O almeno, questo è ciò che ho capito.
Allora, la risposta sta tutta nella definizione di integrale, che ho cercato di scrivere poco fa ma poi veniva troppo lunga ed ho cancellato.
Se vai a vedere la definizione, vedrai che il valore dell'integrale è il massimo valore della somma inferiore [cfr libro di testo] quando coincide con il minimo valore della somma superiore [idem]. Per come sono costruite le somme inferiori e superiori, puoi vedere che il significato che assumono, se riportate sul piano cartesiano, è quello di indicare la somma delle aree dei rettangoli che puoi costruire dividendo l'intervallo di integrazione in un numero qualunque di sotto-intervalli e prendendo come altezza il valore della funzione [uno qualunque] in quel sotto-intervallo.
Per farla breve, l'integrale definito è costruito storicamente come strumento per calcolare il valore con segno dell'area sottesa dal grafico di una funzione, quindi non dovrebbe sorprenderti che la sua definizione abbia proprio quel significato, non è una coincidenza!
Se guardi la definizione di integrale lo vedi in maniera evidente
si diciamo che ciò che volevo dire era quel che mi ha risposto seneca, ma poi di certo avrei fatto un altra domanda la cui risposta sarebbe stata quella postata da raptorista dunque grazie ad entrambi
Mi piacerebbe approfondire un po' ciò che ha detto raptorista che è proprio ciò che mi angoscia da quando ho scoperto gli integrali definiti, ma non ho tempo visto che sto preparando gli orali.
Se non è un disturbo mi potresti postare la risposta quella lunga che poi hai cancellato, o comunque qualche link dove approfondire meglio.
Grazie mille ancora a Seneca per la pazienza
Mi piacerebbe approfondire un po' ciò che ha detto raptorista che è proprio ciò che mi angoscia da quando ho scoperto gli integrali definiti, ma non ho tempo visto che sto preparando gli orali.
Se non è un disturbo mi potresti postare la risposta quella lunga che poi hai cancellato, o comunque qualche link dove approfondire meglio.
Grazie mille ancora a Seneca per la pazienza
Libro di testo di analisi, non ci sono fonti migliori!
Se hai l'imbarazzo della scelta, un buon Pagani Salsa va sempre bene!
Se hai l'imbarazzo della scelta, un buon Pagani Salsa va sempre bene!
ok grazie mille
Forse dovresti "fare" un pò di teoria, "dare" un'occhiata al significato geometrico dell'integrale definito e ..2 (occhiate) al teorema di Torricelli-Barrow!
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