Integrale definito

[oltreoceano90]

come posso risolvere questo integrale??

$\int_0^1(sqrt(x)+ln(x+1))/(x+1)dx$

devo prima risolvere l'integrale per sostituire 1 e 0 o no???

[adaBTTLS1]

non ho svolto i calcoli, ma direi decisamente per decomposizione: la prima parte per sostituzione dovrebbe funzionare, la seconda parte è quasi immediata se la vedi come integrale di una funzione per la sua derivata. prova e facci sapere. ciao.

[oltreoceano90]

ho provato a dividere l'integrale in due $\int_{0}^{1}sqrt(x)/(x+1)dx$ + $\int_{0}^{1}(ln(x+1))/(x+1)dx$

il secondo mi viene $(ln(x+1))^2/(2)$ e il primo non so come andare avanti...

quando vado a sostituire i valori 1 e 0 nel primo risultato, devo elevare al quadrato solo il logaritmo o anche x+1??

[adaBTTLS1]

intanto ti rispondo alla seconda domanda: si parla del quadrato del valore che la funzione logaritmo assume per x+1=2, quindi va elevato solo il log.
per l'altro integrale, ora proverò anch'io, magari tenendo presenti le condizioni di Cebysev, ma tu hai provato a fare per sostituzione?

EDIT: se non ho sbagliato i calcoli, per sostituzione viene bene -> $sqrtx=t$porta l'integrale in forma razionale e dovrebbe venire $2-pi/2$.
prova e facci sapere. ciao.

[oltreoceano90]

potresti scrivermi gli ultimi passaggi con la sostituzione dei valori 0 e 1 perchè non riesco a uscirne

[adaBTTLS1]

"oltreoceano90":ho provato a dividere l'integrale in due $\int_{0}^{1}sqrt(x)/(x+1)dx$ + $\int_{0}^{1}(ln(x+1))/(x+1)dx$

il secondo mi viene $(ln(x+1))^2/(2)$ e il primo non so come andare avanti...

quando vado a sostituire i valori 1 e 0 nel primo risultato, devo elevare al quadrato solo il logaritmo o anche x+1??

$\int_{0}^{1}sqrt(x)/(x+1)dx + \int_{0}^{1}(ln(x+1))/(x+1)dx$
nel primo integrale, posto $sqrt(x)=t$ da cui $x=t^2$ ed anche $dx=2t*dt$, la funzione integranda diventa $t/(t^2+1)*2t*dt=(2t^2)/(t^2+1)*dt$
e la frazione si può scrivere
$(2t^2)/(t^2+1)=(2t^2+2-2)/(t^2+1)=(2*(t^2+1)-2)/(t^2+1)=2-2*1/(t^2+1)$
inoltre se x=0 allora t=0 e se x=1 allora t=1 (t=radice di x)
dunque il primo integrale diventa
$2*\int_0^1\dt-2*\int_0^1\1/(t^2+1)dt=2-2arctg(1)=2-2*pi/4=2-pi/2$
l'altro integrale l'avevi trovato tu, e quindi in totale si ha (se non ricordo male):
$1/2*(ln2)^2+2-pi/2$

spero sia chiaro. ciao.