Integrale definito (45294)

[the.track]

Ho questo integrale da risolvere:

[math]\int_{-\infty}^{-1}Ax^2\cdot e^x\: dx + \int_{-1}^{1}Bx^2\: dx + \int_{1}^{+\infty}Ax^2\cdot e^{-x}\: dx[/math]

Risolvendo per parti il primo integrale a me esce:

[math]Ax^2\cdot e^x - 2Ax\cdot e^x + 2A\cdot e^x\|_{-\infty}^{-1}=\frac{5A}{e}[/math]

Il secondo mi esce:

[math]\frac{1}{3}Bx^3\|_{-1}^{1}=\frac{2}{3}B[/math]

Il terzo:

[math]-Ax^2\cdot e^{-x}-2Ax\cdot e^{-x}-2A\cdot e^{-x}\|_{1}^{+\infty}=-\frac{5A}{e}[/math]

Facendone la somma a me viene un risultato del tipo:

[math]\frac{2}{3}B[/math]

non concorde con il risultato propostomi dalla professoressa.

Se vi accorgete dell'errore basta che me lo dite a risolvere poi mi arrangio. Grazie a tutti. :)

Aggiunto 21 minuti più tardi:

La primitiva di

[math]e^{-x}[/math]

che è

[math]-e^{-x}[/math]

quindi mi viene negativo. almeno io ho pensato così.

Aggiunto 4 ore 15 minuti più tardi:

Non avevo pensato a derivare da idiota allora ho provato. Derivando il mio risultato esce effettivamente la funzione integranda.
Ti mostro:

[math]-A2xe^{-x}+Ax^2e^{-x}-2Ae^{-x}+2Axe^{-x}+2Ae^{-x}[/math]

Semplifichi ed esce

[math]Ax^2e^{-x}[/math]

. Sbaglio anche a derivare?

Aggiunto 2 giorni più tardi:

Grazie. :)

[BIT5]

Sul terzo integrale, perche' parti con il meno?

Aggiunto 54 minuti più tardi:

Ma allora, (scusa ma con gli integrali mi perdo un po'), ma analogamente nel secondo direi che il segno dovrebbe essere +

Aggiunto 4 minuti più tardi:

E direi anche il terzo addendo, visto che devi sempre raccogliere un doppio meno per avere la derivata di e^(-x)

Aggiunto 2 ore 11 minuti più tardi:

Ti spiego perche' non mi torna..

Se procedi con l'operazione inversa e derivi dunque il tuo risultato, a me non viene la funzione integranda...

[math]\int_{1}^{+\infty}Ax^2\cdot e^{-x}\: dx = -Ax^2\cdot e^{-x}-\int_{1}^{+\infty}-2Ax\cdot e^{-x}\: dx = [/math]

Qui non capisco: cioe', vero che porti fuori il - dall'integrale e compensi con l'altro meno, ma quando poi integri di nuovo per parti, non hai la derivata della funzione

[math] e^{-x} [/math]

, perche', come all'inizio, secondo me, ti manca il segno meno.. quindi al posto di portare fuori il meno, secondo me devi lasciare tutto com'e'..

[math] =-Ax^2\cdot e^{-x}- \int_{1}^{+\infty}2Ax\cdot -e^{-x}\: dx =\\
-Ax^2\cdot e^{-x}- (2Ax\cdot e^{-x}-\int_{1}^{+\infty}2A\cdot e^{-x}\: dx ) = \\
=-Ax^2\cdot e^{-x}-2Ax\cdot e^{-x}+ 2A\cdot e^{-x}[/math]

Poi non so ora invio poi lo riguardo che dopo un po' con il latex mi si incrociano gli occhi

[ilfisicopazzo]

Dunque Sono sempre io. Mi sono registrato con un altro nick perché non mi lascia più loggarmi. Dunque l'integrale mi diventa:

[math]\int_{1}^{+\infty}Ax^2\cdot e^{-x}\: dx = -Ax^2\cdot e^{-x}-\int_{1}^{+\infty}-2Ax\cdot e^{-x}\: dx =\\
=-Ax^2\cdot e^{-x}+\int_{1}^{+\infty}2Ax\cdot e^{-x}\: dx =\\
-Ax^2\cdot e^{-x}-2Ax\cdot e^{-x}-\int_{1}^{+\infty}2A\cdot e^{-x}\: dx = \\
=-Ax^2\cdot e^{-x}-2Ax\cdot e^{-x}- 2A\cdot e^{-x}[/math]

Io l'ho risolto così. Prova a dare un'occhiata se c'è qualche errore stupido.

[ciampax]

Dunque, facciamo un ragionamento stupido: l'integrale possiamo scriverlo come

[math]\int_{-\infty}^{-1} f(x)\ dx+\int_{-1}^1 g(x)\ dx+\int_{1}^{+\infty} h(x)\ dx[/math]

dove

[math]f(x)=Ax^2 e^x,\qquad g(x)=Bx^2,\qquad h(x)=Ax^2 e^{-x}[/math]

Ora, nel primo e terzo integrale la presenza dell'esponenziale è tale da rendere la funzione integrabile. Se nel primo integrale pongo

[math]x=-t[/math]

esso diventa

[math]\int_{-\infty}^{-1} Ax^2 e^x\ dx=\int_{+\infty}^{1} A t^2 e^{-t}\ (-dt)=-\int_{+\infty}^{1} A t^2 e^{-t}\ dt=\int^{+\infty}_{1} A t^2 e^{-t}\ dt[/math]

che è uguale al terzo integrale. Pertanto:

[math]2\int_{1}^{+\infty} A x^2 e^{-x}\ dx+\int_{-1}^1 B x^2\ dx[/math]

è l'integrale da calcolare.

Il secondo integrale, invece, è quello di una funzione pari: visto che una tale funzione si ripete a destra e sinistra dell'asse y allo stesso modo risulta che

[math]\int_{-1}^1 bx^2\ dx=2\int_0^1 Bx^2 dx[/math]

Allora devi calcolare semplicemente

[math]2\left(B\int_0^1 x^2\ dx+A\int_{1}^{+\infty} x^2 e^{-x}\ dx\right)=\\
2\left(B\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1+A\left[-x^2 e^{-x}\right]_1^{+\infty}+2A\int_{1}^{+\infty} x e^{-x}\ dx\right)=\\
2\left(\frac{B}{3}+\frac{A}{e}+2A\left[-xe^{-x}\right]_1^{+\infty}+2A\int_{1}^{+\infty}e^{-x}\ dx\right)=\\
2\left(\frac{B}{3}+\frac{A}{e}+\frac{2A}{e}+2A\left[-e^{-x}\right]_1^{+\infty}\right)=\\
2\left(\frac{B}{3}+\frac{A}{e}+\frac{2A}{e}+\frac{2A}{e}\right)=\frac{2B}{3}+\frac{10A}{e}
[/math]

che è il risultato.