Integrale definito
Buongiorno. Sto provando a risolvere il seguente integrale
$\int_-1^1(1/(sqrt|x|(x-4)))dx$ Per prima cosa lo ho spezzato in due:
$\int_0^1(1/(sqrt|x|(x-4)))dx=\int_-1^0(1/(sqrt(-x)(x-4)))dx+\int_0^1(1/(sqrt(x)(x-4)))dx$. Il secondo integrale lo ho fatto, ho problemi sul primo. Ho pensato di agire per sostituzione
$t=sqrt(-x)$ ; $dt=1/(2sqrt(-x))$ ; $dx=2tdt$ e $x-4=-t^2-4$
Cambiando gli estremi di integrazione dovrei avere che
$\int_0^1(1/(sqrt|x|(x-4)))dx=-\int_0^1(2/(t^2+4))dt=-1/2int_0^1(1/(t/2)^2+1)=-1/2arctan(t/2)$ calcolata tra 0 e 1 e quindi dovrebbe risultare $-1/2arctan(1/2)$ .La primitiva che mi da il libro è completamente diversa: $arctan(1/3)-pi/4$ e non capisco se ho sbagliato procedimento o calcoli successivi
$\int_-1^1(1/(sqrt|x|(x-4)))dx$ Per prima cosa lo ho spezzato in due:
$\int_0^1(1/(sqrt|x|(x-4)))dx=\int_-1^0(1/(sqrt(-x)(x-4)))dx+\int_0^1(1/(sqrt(x)(x-4)))dx$. Il secondo integrale lo ho fatto, ho problemi sul primo. Ho pensato di agire per sostituzione
$t=sqrt(-x)$ ; $dt=1/(2sqrt(-x))$ ; $dx=2tdt$ e $x-4=-t^2-4$
Cambiando gli estremi di integrazione dovrei avere che
$\int_0^1(1/(sqrt|x|(x-4)))dx=-\int_0^1(2/(t^2+4))dt=-1/2int_0^1(1/(t/2)^2+1)=-1/2arctan(t/2)$ calcolata tra 0 e 1 e quindi dovrebbe risultare $-1/2arctan(1/2)$ .La primitiva che mi da il libro è completamente diversa: $arctan(1/3)-pi/4$ e non capisco se ho sbagliato procedimento o calcoli successivi
Risposte
"blabla":
e non capisco se ho sbagliato...
Il procedimento è corretto. Quel che scrivi è spesso impreciso a causa, credo anche, di problemi con la scrittura delle formule: il pulsante anteprima serve per controllare come apparirà quel che postiamo. Un solo errore sostanziale: la derivata di $ arctan(t/2)$ è $1/2 1/((t/2)^2+1) $. Perciò il tuo risultato dovrebbe essere $- arctan(1/2) $ che è uguale a quello proposto dal libro, infatti $ arctan(1/2)+arctan(1/3)=pi/4 $,
Ciao
Ottimo, grazie ciao.
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