Integrale definito?
Allora, un altro giorno, un altro problema.
L'integrale che va da 0 a infinito (senza segni) di $2e^(-2x)$ come si calcola? Come $F(∞)-F(0)$ o si deve utilizzare qualche altro metodo? Lo scrivo perchè non dispongo del risultato.
L'integrale che va da 0 a infinito (senza segni) di $2e^(-2x)$ come si calcola? Come $F(∞)-F(0)$ o si deve utilizzare qualche altro metodo? Lo scrivo perchè non dispongo del risultato.
Risposte
Concettualmente sì, anche se non è rigorosamente corretto... inizia a trovare la primitiva poi vedi quanto vale per $x rarr oo$ 
"andar9896":
Concettualmente sì, anche se non è rigorosamente corretto... inizia a trovare la primitiva poi vedi quanto vale per $x rarr oo$
Non ho capito.
$F(∞)-F(0)=0-(-1)=1$. Quindi?
Non esiste $F(infty)$ ...
Sì è corretto! Intendevo che $oo$ non è un numero quindi dovresti rigorosamente scrivere, al posto di $F(oo)$,
$lim_(M rarr oo) -e^(-2M)=0$
Che concettualmente vuol dire "sostituire $oo$ alla $x$. Tutto qui
$lim_(M rarr oo) -e^(-2M)=0$
Che concettualmente vuol dire "sostituire $oo$ alla $x$. Tutto qui
"andar9896":
Sì è corretto! Intendevo che $oo$ non è un numero quindi dovresti rigorosamente scrivere, al posto di $F(oo)$,
$lim_(M rarr oo) -e^(-2M)=0$
Che concettualmente vuol dire "sostituire $oo$ alla $x$. Tutto qui
Quindi l'esercizio si risolve come $(lim_(M rarr oo) F(M))-F(0)$?
volendo continuare sulla scia di Alex, $infty$ non ha senso in questo caso. Lavori a $+infty$ o $-infty$? Non è una cosa da nulla eh..
"anto_zoolander":
volendo continuare sulla scia di Alex, $infty$ non ha senso in questo caso. Lavori a $+infty$ o $-infty$? Non è una cosa da nulla eh..
Non ci sono segni, ho assunto $+infty$.
Naturalmente, però potrebbe venir considerato come errore. Perché nessuno vietava che fosse $-infty$. Comunque concettualmente quando hai un integrale improprio, detto brutalmente, è come se prendessi un lato del trapezoide e lo spostassi sempre di più verso 'dove ti interessa'. Praticamente valuti l'area in una porzione di area sempre più grande e vedi come essa si comporta.
Il problema di questa integrazione sta' nel fatto che la base del trapezoide è infinita. Quindi sostanzialmente non è molto fattibile calcolare l'area di una figura che ha un segmento di lunghezza infinita(anche perché non è un segmento ma una semiretta). Quindi il limite ci restituisce il valore a cui si avvicina l'area se ci avviciniamo sempre di più a un determinato punto.
In questo caso considera l'allontanarsi sempre di più dall'origine e si cerca la convergenza dell'integrale. Il valore di un integrale improprio è comunque un valore limite. infatti sappiamo soltanto che comunque prendiamo $M$ sempre più grande, il valore dell'integrale si avvicina a quello dato dal limite.
Ora chiaramente tutto dipende dal limite. Se il limite è finito l'integrale converge.
$lim_(M->+infty)[F(x)]_(0)^(M)$
Il problema di questa integrazione sta' nel fatto che la base del trapezoide è infinita. Quindi sostanzialmente non è molto fattibile calcolare l'area di una figura che ha un segmento di lunghezza infinita(anche perché non è un segmento ma una semiretta). Quindi il limite ci restituisce il valore a cui si avvicina l'area se ci avviciniamo sempre di più a un determinato punto.
In questo caso considera l'allontanarsi sempre di più dall'origine e si cerca la convergenza dell'integrale. Il valore di un integrale improprio è comunque un valore limite. infatti sappiamo soltanto che comunque prendiamo $M$ sempre più grande, il valore dell'integrale si avvicina a quello dato dal limite.
$lim_(M->+infty)F(M)-F(0)$
Ora chiaramente tutto dipende dal limite. Se il limite è finito l'integrale converge.
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