Integrale definito
Ho un dubbio
calcolando degli integrali mediante definizione (somma integrale inferiore....) quando erano del tipo
$ int_( 2)^( 1) x+1 dx $
(sono riuscito a risolverli)
ma nel calcolare questo
$ int_( 3)^( 1) x^2+2 dx $
ho incontrato difficoltà ..mi date una spinta!
calcolando degli integrali mediante definizione (somma integrale inferiore....) quando erano del tipo
$ int_( 2)^( 1) x+1 dx $
(sono riuscito a risolverli)
ma nel calcolare questo
$ int_( 3)^( 1) x^2+2 dx $
ho incontrato difficoltà ..mi date una spinta!
Risposte
"marcus112":
Ho un dubbio
calcolando degli integrali mediante definizione (somma integrale inferiore....) quando erano del tipo
$ int_( 2)^( 1) x+1 dx $
(sono riuscito a risolverli)
ma nel calcolare questo
$ int_( 3)^( 1) x^2+2 dx $
ho incontrato difficoltà ..mi date una spinta!
Quale è la difficoltà?
il mio prof di esercitazione in università con gli integrali ci aveva detto "se conosco la primitiva, allora posso calcolare l'integrale definito"
prova a fare sta cosa, prima con l'integrale indefinito, tu hai $\int f(x)+g(x) dx=\int f(x) dx +\int g(x) dx$
prova
ah una cosa.. tu hai $\int_(3)^(1)f(x)dx = -\int_(1)^(3)f(x)dx$ come da definizione
prova a fare sta cosa, prima con l'integrale indefinito, tu hai $\int f(x)+g(x) dx=\int f(x) dx +\int g(x) dx$
prova
ah una cosa.. tu hai $\int_(3)^(1)f(x)dx = -\int_(1)^(3)f(x)dx$ come da definizione
Ciao, puoi anche tenere tutto unito e fare l'operazione in una volta sola: \[
\int_3^1 {x^2 + 2\, dx} = \Bigg[\frac{x^3}{3} + 2x\Bigg]_3^1 = \frac{1}{3} + 2 - \frac{27}{3} - 6 = -\frac{38}{3}
\]
\int_3^1 {x^2 + 2\, dx} = \Bigg[\frac{x^3}{3} + 2x\Bigg]_3^1 = \frac{1}{3} + 2 - \frac{27}{3} - 6 = -\frac{38}{3}
\]
Forse, mi sono spiegato male....non è per me un problema calcolare l'integrale... minomic lo diventa se lo calcolo come somma integrale inferiore e somma integrale superiore...
"minomic":
Ciao, puoi anche tenere tutto unito e fare l'operazione in una volta sola: \[
\int_3^1 {x^2 + 2\, dx} = \Bigg[\frac{x^3}{3} + 2x\Bigg]_3^1 = \frac{1}{3} + 2 - \frac{27}{3} - 6 = -\frac{38}{3}
\]
scusa minomic, non dovrebbe essere $\int_(a)^(b)f(x)dx= -\int_(b)^(a)f(x)dx$
e qui è la stessa cosa qui si ha $\int_(3)^(1)f(x)dx=-\int_(1)^(3)f(x)dx$.. o sbaglio?
Sì certo ma puoi anche evitare di invertire gli estremi di integrazione e procedere normalmente.
Detto $L$ l'integrale in discussione, si può scrivere:
$L=-int_1^3 (x^2+2)dx$
Dividiamo ora l'intervallo $[1,3]$ (di ampiezza $3-1=2$) in $n$ intervalli ( ciascuno di ampiezza $d=2/n$) mediante i seguenti punti di divisione :
$1+0*d,1+1*d,1+2*d,1+3*d,....,1+(n-1)*d$
Le somme inferiori $s_n$ saranno allora del tipo :
$s_n=-d[(1+0*d)^2+2+(1+d)^2+2+(1+2d)^2+2+(1+3d)^2+2+....+(1+(n-1)d)^2+2]$
E sviluppando opportunamente i calcoli :
(A) $s_n=-d [n+2n+2d(1+2+3+...+(n-1))+d^2(1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2)]$
Dall'algebra risulta che :
$1+2+3+...+(n-1)={n(n-1)}/2,1^2+2^2+3^2+(n-1)^2={n(n-1)(2n-1)}/6$
Applicando queste formule alla (A), con qualche trasformazione elementare si ha :
$s_n=-[6+4(1-1/n)+4/3(1-1/n)(2-1/n)]$
E passando al limite per $n->infty$
$lim_{n->infty}s_n=-(6+4+8/3)=-{38}/3$
Analogamente, per le somme superiori $S_n$, risulta :$lim_{n->infty}S_n=-{38}/3$
E dunque il valore richiesto è appunto $-38/3$. Come è facile verificare, tale risultato coincide con quello che si otterrebbe calcolando direttamente l'integrale di cui all'inizio: L= $-int_1^3 (x^2+2)dx=-|x^3/3+2x|_1^3=-{38}/3$ .
$L=-int_1^3 (x^2+2)dx$
Dividiamo ora l'intervallo $[1,3]$ (di ampiezza $3-1=2$) in $n$ intervalli ( ciascuno di ampiezza $d=2/n$) mediante i seguenti punti di divisione :
$1+0*d,1+1*d,1+2*d,1+3*d,....,1+(n-1)*d$
Le somme inferiori $s_n$ saranno allora del tipo :
$s_n=-d[(1+0*d)^2+2+(1+d)^2+2+(1+2d)^2+2+(1+3d)^2+2+....+(1+(n-1)d)^2+2]$
E sviluppando opportunamente i calcoli :
(A) $s_n=-d [n+2n+2d(1+2+3+...+(n-1))+d^2(1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2)]$
Dall'algebra risulta che :
$1+2+3+...+(n-1)={n(n-1)}/2,1^2+2^2+3^2+(n-1)^2={n(n-1)(2n-1)}/6$
Applicando queste formule alla (A), con qualche trasformazione elementare si ha :
$s_n=-[6+4(1-1/n)+4/3(1-1/n)(2-1/n)]$
E passando al limite per $n->infty$
$lim_{n->infty}s_n=-(6+4+8/3)=-{38}/3$
Analogamente, per le somme superiori $S_n$, risulta :$lim_{n->infty}S_n=-{38}/3$
E dunque il valore richiesto è appunto $-38/3$. Come è facile verificare, tale risultato coincide con quello che si otterrebbe calcolando direttamente l'integrale di cui all'inizio: L= $-int_1^3 (x^2+2)dx=-|x^3/3+2x|_1^3=-{38}/3$ .
"ciromario":
Detto $L$ l'integrale in discussione, si può scrivere:
$L=-int_1^3 (x^2+2)dx$
Dividiamo ora l'intervallo $[1,3]$ (di ampiezza $3-1=2$) in $n$ intervalli ( ciascuno di ampiezza $d=2/n$) mediante i seguenti punti di divisione :
$1+0*d,1+1*d,1+2*d,1+3*d,....,1+(n-1)*d$
Le somme inferiori $s_n$ saranno allora del tipo :
$s_n=-d[(1+0*d)^2+2+(1+d)^2+2+(1+2d)^2+2+(1+3d)^2+2+....+(1+(n-1)d)^2+2]$
E sviluppando opportunamente i calcoli :
(A) $s_n=-d [n+2n+2d(1+2+3+...+(n-1))+d^2(1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2)]$
Dall'algebra risulta che :
$1+2+3+...+(n-1)={n(n-1)}/2,1^2+2^2+3^2+(n-1)^2={n(n-1)(2n-1)}/6$
Applicando queste formule alla (A), con qualche trasformazione elementare si ha :
$s_n=-[6+4(1-1/n)+4/3(1-1/n)(2-1/n)]$
E passando al limite per $n->infty$
$lim_{n->infty}s_n=-(6+4+8/3)=-{38}/3$
Analogamente, per le somme superiori $S_n$, risulta :$lim_{n->infty}S_n=-{38}/3$
E dunque il valore richiesto è appunto $-38/3$. Come è facile verificare, tale risultato coincide con quello che si otterrebbe calcolando direttamente l'integrale di cui all'inizio: L= $-int_1^3 (x^2+2)dx=-|x^3/3+2x|_1^3=-{38}/3$ .
molto elegante.......
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