Integrale definito

[oltreoceano90]

come posso risolvere questo integrale???

[math]\int_{0}^{1}\frac{(sqrt(x)+ln(x+1)}{(x+1)}\, dx[/math]

[the.track]

Distribuisci il denominatore, ottenendo così:

[math]\int_0^1 \frac{\sqrt{x}}{x+1}+\frac{ln(x+1)}{x+1}\; dx[/math]

Puoi scrivere equivalentemente:

[math]\int_0^1 \frac{\sqrt{x}}{x+1}\;dx +\int_0^1 \frac{ln(x+1)}{x+1}\; dx[/math]

Se noti il secondo si risolve come:

[math]\int_0^1 \frac{ln(x+1)}{x+1}\; dx=\frac{1}{2}ln^2(x+1)[/math]

Il primo invece:

[math]\int_0^1 \frac{\sqrt{x}}{x+1}\;dx[/math]

Operiamo per sostituzione ponendo:

[math]\sqrt{x}=t[/math]

Da cui:

[math]x=t^2[/math]

[math]dx=2t\; dt[/math]

Otteniamo:

[math]\int_0^1 \frac{2t^2}{t^2+1}\; dt[/math]

Portiamo fuori il due, e aggiungiamo e togliamo

[math]1[/math]

:

[math]2\int_0^1 \frac{t^2+1}{t^2+1}\; dt -2\int_0^1 \frac{1}{t^2+1}\; dt[/math]

Da qui ti lascio andare avanti. Se hai dubbi chiedi. ;)

[oltreoceano90]

alla fine viene

[math]\frac{1}{2}(ln2)^2+2-{pigeco}/{2}[/math]

???

[ciampax]

Come hai calcolato l'ultimo integrale? Viene

[math]\int_0^1\frac{1}{t^2+1}\ dt=[\arctan t]_0^1=\frac{\pi}{4}[/math]

e quindi qualcosa lievemente diverso da ciò che dici tu!