Integrale con elevazine di seno e coseno

[silvia851-votailprof]

ho il seguente integrale $\int (senx-sen^2x)/(cos^4x) dx$ adesso sono in dubbio se il mio svolgimento è esatto e quindi se ho capito come comportarmi con questo tipo di integrali...avevo pensato di svolgerlo cosi:
$\int (senx-sen^2x)/(cos^4x) dx=\int (senx)/(cos^4x) dx -\int (sen^2x)/(cos^4x) dx$
da qui mi accorgo che nel secondo integrale in numeratore è la derivata del denominatore, però poi non so come continuare, come mi devo comportare?
grazie a chi mi risponderà

[axpgn]

"silvia_85":... da qui mi accorgo che nel secondo integrale in numeratore è la derivata del denominatore, ...

Direi proprio di no ...
Partendo dalla separazione che hai fatto, così a occhio mi verrebbe da dire che il primo lo risolvi con una sostituzione ed il secondo per parti utilizzando la soluzione del primo come parte da integrare ...

Cordialmente, Alex

[mazzarri1]

Attenta Silvia che è il primo dei due integrali quello in cui il numeratore è la derivata del denominatore... basta applicare la formula risolutiva

$int f(x)^n f'(x) dx = 1/(n+1) f(x) ^ (n+1)$

e lo risolvi subito

Poi nel secondo integrale consideri che $sin^2x=1-cos^2x$ e quindi diventa

$int sin^2 x/cos^4 xdx = int (1-cos^2 x) /cos^4 xdx = int 1/cos^4x dx - int 1/cos^2 x dx$

In questo caso il secondo è immediato (pensa alla derivata della tangente) mentre per il primo si potrebbe pensare alle parametriche

ciao

[Lo_zio_Tom]

"mazzarri":

$int 1/cos^4x dx $

io questo lo farei così:

$int 1/cos^2x 1/cos^2x dx =int(tan^2(x)+1)d(tan(x))=1/3tan^3(x)+ tan(x)+C$


veloce e senza troppi conti.....

[silvia851-votailprof]

"tommik":[quote="mazzarri"]

$int 1/cos^4x dx $

io questo lo farei così:

$int 1/cos^2x 1/cos^2x dx =int(tan^2(x)+1)d(tan(x))=1/3tan^3(x)+ tan(x)+C$


veloce e senza troppi conti.....[/quote]
effettivamente il testo mi da come risultato di questo integrale $(1)/(3cos^2x)-(tg^3x)/(3)+c$ ma ogni volta che mi trovo davanti a dei seni o coseni elevati al quadrato,cubo, ecc mi confondo

[Lo_zio_Tom]

"silvia_85":
effettivamente il testo mi da come risultato di questo integrale $(1)/(3cos^2x)-(tg^3x)/(3)+c$ ma ogni volta che mi trovo davanti a dei seni o coseni elevati al quadrato,cubo, ecc mi confondo

avrai copiato male...a me vien diverso il risultato

[Lo_zio_Tom]

te lo risolvo brevemente...tanto i passaggi sono gli stessi visti sopra...poi così lo guardi con calma....

$int(sinx-sin^2x)/(cos^4x)dx=intsinx/cos^4xdx-int(1-cos^2x)/cos^4xdx=-int1/cos^4xdcosx-int1/cos^4xdx+int1/cos^2xdx=$

$=1/(3cos^3x)-int1/cos^2x1/cos^2xdx+tanx=1/(3cos^3x)-int(tan^2x+1)dtanx+tanx=$

$=1/(3cos^3x)-tan^3x/3-tanx+tanx=1/(3cos^3x)-tan^3x/3+C$


è tutto...

[Lo_zio_Tom]

Silvia...rispetto agli integrali che hai fatto finora questo è effettivamente piuttosto complicato...se hai bisogno di chiarimenti sui vari passaggi non farti problemi...siamo qui

[silvia851-votailprof]

si scusa effettivamente avevo sbagliato a riportare qui il risultato esatto...vi ringrazio per la disponibilità...beh guardando il to svolgimento Tommik non riesco a capire come $\int (sen)/(cos^4x)$ sia diventato $-\int (1)/(cos^4x)*cosx$ da dove ti è spuntato fuori quel $cosx$?

[Lo_zio_Tom]

bene...te lo spiego subito....

$intsenx/cos^4xdx$

sostituiamo $cosx=t$. Differenziamo entrambi i membri ottenendo:

$-senxdx=dt$

Ora ci accorgiamo che manca un $-$ nell'integrale....allora lo "mettiamo" moltiplicando e dividendo per $-1$ e otteniamo

$-int1/t^4dt=1/(3t^3)$


che è la stessa cosa....(io non ho fatto la sostituzione ma ho cambiato il differenziale)

[Lo_zio_Tom]

"silvia_85": da dove ti è spuntato fuori quel $cosx$?

non è un $cosx$ ma un $d(cosx)$...


$d/(dx)cosx=-sinx$ ovvero $dcosx=-sinxdx$


tu puoi tranquillamente fare la sostituzione che ti ho fatto vedere prima $cosx=t$ e otterrai il medesimo risultato

[silvia851-votailprof]

ho capito adesso....ma perché il $senx$ si è trasformato in $1$?

[silvia851-votailprof]

io invece l'ho interpretato diversamente.....siccome io già ho $\int(senx)/(cos^4x)$ ho pensato che avessi già la derivata del mio $cosx$ ma che manca solo il meno quindi faccio cosi $-\int(-senx)/(cos^4x)$ ma da quello che hai scritto tu quindi penso che sia sbagliato il mio ragionamento