Integrale brevissimo ma difficile da calcolare!!!!!

[Gp741]

Chi mi riesce a calcolare l'integrale di (cosx)^2 con il metodo di integrazione per parti????Grazie in anticipo per le risposte

[_Tipper]

Sarebe più semplice osservare che $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$. Se proprio lo vuoi fare per parti ottieni

$\int \cos^2(x) dx = x \cos^2(x) + \int 2x \cos(x) \sin(x) dx = x \cos^2(x) + \int x \sin(2x) dx = x \cos^2(x) - \frac{x}{2} \cos(2x) + \int \frac{\cos(2x)}{2}dx$

e ora è immediato.

[Camillo]

Chiedeva di calcolare $int cos^2x dx $ non $int x cos^2x dx $

[_Tipper]

"Camillo":Chiedeva di calcolare $int cos^2x dx $ non $int x cos^2x dx $

Lo so, ma se integri per parti una volta viene

$x \cos^2(x) + \int 2x \cos(x) \sin(x)dx$

Modifico il messaggio, per renderlo più chiaro.

[Camillo]

E' vero.. non avevo mai visto fatto così ; io lo vedo più facilmente come $int cosx*Dsinx dx $ etc ..

[fu^2]

oppure un altro modo di risolvere per parti questo integrale è
$intcos^2xdx=intcosxcosxdx

quindi f=cosx, f'=-sinx; g'=cosx, g=sinx

un approccio un attimo diverso

edit: non avevo visto la risposta di camillo

[Gp741]

Grazie Tipper per la risposta. Sapresti ora dirmi come calcolare l'integrale di (cosx)^3 senza usare l'integrazione per parti o per sostituzione??:)

[_Tipper]

$\cos^3(x) = \cos(x) \cdot \cos^2(x) = \cos(x) \cdot (1 - \sin^2(x)) = \cos(x) - \cos(x) \sin^2(x)$

dunque

$\int \cos^3(x) dx = \int \cos(x) dx - \int \cos(x) \sin^2(x) dx = \sin(x) - \frac{\sin^3(x)}{3} + c$

dato che $\cos(x) = \frac{d}{dx} \sin(x)$.