Integrale

[snooze89]

Salve a tutti, ho difficoltà con questo integrale:

$\int(x+2)/(4x^2+9)$

L'ho risolto come segue:

$1/8\int(8x+16)/(4x^2+9) = 1/8\int (8x+16-16+16)/(4x^2+9) = 1/8\int (8x)/(4x^2+9) + 2\int 1/(4x^2+9) =$

= $1/8 ln (4x^2+9) + 2*1/3 arctg (2x/3) + c$

Il risultato del libro è però

$1/8 ln (4x^2+9) +1/3 arctg ((2x)/3) + c$

Dove ho sbagliato?!

E poi ci sarebbe quest'altro:
$\int (x^2+x+2)/(x^2+16)$ che non riesco a risolvere... Grazie mille come sempre!

[Steven11]

Ciao.
Consideriamo
$int \frac{1}{4x^2+9} \quad"dx"$
ovvero

$1/9int \frac{1}{4/9x^2+1} \quad"dx"$
Ora facciamo comparire $2/3$ al numeratore, in questa maniera (ovviamente moltiplichiamo l'integrale per $3/2$
$1/9*3/2\int \frac{2/3}{4/9x^2+1} \quad"dx"$
Quindi ottieni
$1/6arctan(2/3x)$
Quindi tutto torna, considerando che nel tuo caso devi moltiplicare per $2$, che già stava a moltiplicare l'integrale.

Per quell'altro ti do l'avvio
$\int (x^2+x+2)/(x^2+16)"dx"$
$\int x/(x^2+16)+(x^2+2)/(x^2+16)"dx"=\int x/(x^2+16)+(x^2+16-14)/(x^2+16)"dx"=\int x/(x^2+16)+(x^2+16)/(x^2+16)-14/(x^2+16)"dx"$
Dovrebbero essere tre forme abbastanza abbordabili.

Ciao.

[Sk_Anonymous]

Ti do la risoluzione al volo:

$\int(x+2)/(4x^2+9)dx=\intx/(4x^2+9)dx+\int2/(4x^2+9)dx=1/8*\int(8x)/(4x^2+9)dx+2*\int(dx)/(4x^2+9)$

Adesso hai due integrali immediati

[snooze89]

Solo una cosa non capisco: sul mio libro c'è scritta una formula

$\int (f'x)/(k^2+f(x)^2) = 1/k * arctg (fx/k) + c$

Se la applico a

$\int 1/(4x^2+9)$ ottengo $1/3arctg ((2x)/3)$


Ho capito il procedimento, Steven, però non capisco come mai non combaci con questo, che deve ancora essere moltiplicato per 2

Per l'altro ho capito! Era molto facile a dire il vero!!!

Grazie anche a matths!

[amandy1]

Perchè ti sei dimenticato la derivata della funzione al numeratore che essendo 2 richiede 1/2 fuori dall'integrale per "pareggiare i conti".

[amandy1]

$int 1/(4x^2+9)dx$ = $1/2int 2/((2x)^2+3^2)dx$ etc

[snooze89]

Caspita è vero! Sono un tonno!

Grazie!