Integrale
Ciao a tutti...volevo un aiutino....Non riesco a calcolare questo integrale...
$sqrt(1+x^2)dx$ (il simbolo di integrale non ho capito come si mette...sorry)
Grazie in anticipo per la risposta
$sqrt(1+x^2)dx$ (il simbolo di integrale non ho capito come si mette...sorry)
Grazie in anticipo per la risposta
Risposte
Se conosci le funzioni iperboliche, puoi eseguire la sostituzione
$x=senht$
che semplifica la vita di molto.
Senza le funzioni iperboliche devi procedere per parti...ma è una strada molto impervia...
A dirti il vero non so neppure se si riesca ad arrivare alla fine dell'integrale senza far riferimento alle funzioni iperboliche (o alle equivalenti combinazioni di esponenziali).
P.S.: Per il simbolo di integrale basta scrivere 'int'.
$x=senht$
che semplifica la vita di molto.
Senza le funzioni iperboliche devi procedere per parti...ma è una strada molto impervia...
A dirti il vero non so neppure se si riesca ad arrivare alla fine dell'integrale senza far riferimento alle funzioni iperboliche (o alle equivalenti combinazioni di esponenziali).
P.S.: Per il simbolo di integrale basta scrivere 'int'.
Poni:
$sqrt(1+x^2)=t-x$ e prosegui da te.
$sqrt(1+x^2)=t-x$ e prosegui da te.
Non ci avrei mai pensato...sostituzione ardita...con gli integrali le sorprese non finiscono mai!
Non me la voglio tirare..infatti ammetto che non mi è venuta così,semmai ricordavo che esistevano le sostituzioni di Eulero per integrali del genere e l'ho proposta..bisogna ringraziare Eulero,non me!
Mitica sostituzione...grazie mille
hai qualche altra mitica sostituzione di Eulero da proporre???
Scusate l'intromissione, ma una volta effettuata la sostituzione $sqrt(1+x^2) = t -x$ come si dovrebbe procedere? Per esempio, con il differenziale come ci si comporta?
Grazie,
Andrea
Grazie,
Andrea
Si ricava prima x in funzione di t dalla sostituzione posta, poi si calcola il differenziale.
"pink.flamingo":
hai qualche altra mitica sostituzione di Eulero da proporre???
Quando l'integrale da calcolare è di tipo:
$intf(x,sqrt(ax^2+bx+c))dx$,l'ultima spiaggia è la seguente:
Si distinguono due casi:
$a>0$
$sqrt(ax^2+bx+c)=+-sqrta*x+t$,prendendo indifferentemente il segno positivo o negativo
$a<0$
se $alpha,beta,alpha
Le controindicazioni nell'utilizzare tali sostituzioni sono rappresentate dal dovere svolgere,molto spesso,calcoli laboriosi.
Ho provato a risolverlo con la sostituzione ma ahimè non mi esce il risultato proposto dal libro(e gentilmente non spiegato)
$intsqrt(1+x^2)dx$
$sqrt(1+x^2)= t-x$ segue $1+x^2=t^2+x^2-2xt$ ossia $t^2-1=2xt$ da cui si ricava $x= (t^2-1)/(2t)$
$dx=(4t^2-2(t^2-1))/(4t^2)=(t^2+1)/(2t^2)$
si ha dunque
$int(t-x)dx=int(t-(t^2-1)/(2t)*(t^2+1)/(2t^2))dt=$
$int((2t^2-t^2+1)/(2t^2)*(t^2+1)/(st^2))dt=&
$int((t^2+1)^2/(2t^2))dt=$
$int((t^4+1+2t^2)/(2t^2))dt=$
facendo la divisione ottengo
$int(1/4t^2+1/2+1/(4t^2))dt=
$1/24t^3+1/2t-4/t $poi bisogna ricordarsi della sostituizione fatta....(nn la riporto)
Sul libro riporta come risultato $1/2(xsqrt(1+x^2)+log(x+sqrt(1+x^2))$
Cosa sbaglio??
$intsqrt(1+x^2)dx$
$sqrt(1+x^2)= t-x$ segue $1+x^2=t^2+x^2-2xt$ ossia $t^2-1=2xt$ da cui si ricava $x= (t^2-1)/(2t)$
$dx=(4t^2-2(t^2-1))/(4t^2)=(t^2+1)/(2t^2)$
si ha dunque
$int(t-x)dx=int(t-(t^2-1)/(2t)*(t^2+1)/(2t^2))dt=$
$int((2t^2-t^2+1)/(2t^2)*(t^2+1)/(st^2))dt=&
$int((t^2+1)^2/(2t^2))dt=$
$int((t^4+1+2t^2)/(2t^2))dt=$
facendo la divisione ottengo
$int(1/4t^2+1/2+1/(4t^2))dt=
$1/24t^3+1/2t-4/t $poi bisogna ricordarsi della sostituizione fatta....(nn la riporto)
Sul libro riporta come risultato $1/2(xsqrt(1+x^2)+log(x+sqrt(1+x^2))$
Cosa sbaglio??
Scusate $1/12t^3+1/2t-4/t$....
allora
$\sqrt{1+x^2}=t-x rightarrow t=x+\sqrt{1+x^2}$
$\sqrt{1+x^2}=t-x \rightarrow x=\frac{t^2-1}{2t}$
$x=\frac{t^2-1}{2t} \rightarrow t-x=\frac{t^2+1}{2t}$
$x=\frac{t^2-1}{2t} \rightarrow dx=d\frac{t^2 - 1}{2t}=\frac{t^2+1}{2t^2}dt$
da ciò segue
$\int\sqrt{1+x^2}dx=\int(\frac{t^2+1}{2t}\cdot\frac{t^2+1}{2t^2})dt=\int\frac{(t^2+1)^2}{4t^3}dt=\int\frac{t^4+2t^2+1}{4t^3}dt=\int(\frac{t}{4}+\frac{1}{2t}+\frac{1}{4t^3})dt=\frac{1}{4}\int t dt + \frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}+\frac{1}{4}\int\frac{dt}{t^3}=\frac{1}{8}t^2+\frac{1}{2}ln|t|-\frac{1}{8t^2} + C$
a questo punto:
$\frac{1}{8}t^2-\frac{1}{8t^2}=\frac{1}{2}\frac{t^2+1}{2t}\frac{t^2-1}{2t}=\frac{1}{2}x\sqrt{1+x^2}$
$\frac{1}{2}ln|t|=\frac{1}{2}ln|x+sqrt{1+x^2}|=\frac{1}{2}ln(x+\sqrt{1+x^2})$ essendo $x+\sqrt{x^2+1}\geq0 \forall x \in \mathbb{R}$
detto ciò basta mettere in evidenza $\frac{1}{2}$ per ottenere il risultato del libro
ciao
$\sqrt{1+x^2}=t-x rightarrow t=x+\sqrt{1+x^2}$
$\sqrt{1+x^2}=t-x \rightarrow x=\frac{t^2-1}{2t}$
$x=\frac{t^2-1}{2t} \rightarrow t-x=\frac{t^2+1}{2t}$
$x=\frac{t^2-1}{2t} \rightarrow dx=d\frac{t^2 - 1}{2t}=\frac{t^2+1}{2t^2}dt$
da ciò segue
$\int\sqrt{1+x^2}dx=\int(\frac{t^2+1}{2t}\cdot\frac{t^2+1}{2t^2})dt=\int\frac{(t^2+1)^2}{4t^3}dt=\int\frac{t^4+2t^2+1}{4t^3}dt=\int(\frac{t}{4}+\frac{1}{2t}+\frac{1}{4t^3})dt=\frac{1}{4}\int t dt + \frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}+\frac{1}{4}\int\frac{dt}{t^3}=\frac{1}{8}t^2+\frac{1}{2}ln|t|-\frac{1}{8t^2} + C$
a questo punto:
$\frac{1}{8}t^2-\frac{1}{8t^2}=\frac{1}{2}\frac{t^2+1}{2t}\frac{t^2-1}{2t}=\frac{1}{2}x\sqrt{1+x^2}$
$\frac{1}{2}ln|t|=\frac{1}{2}ln|x+sqrt{1+x^2}|=\frac{1}{2}ln(x+\sqrt{1+x^2})$ essendo $x+\sqrt{x^2+1}\geq0 \forall x \in \mathbb{R}$
detto ciò basta mettere in evidenza $\frac{1}{2}$ per ottenere il risultato del libro
ciao
Grazie Mille 
Ah ecco l'errore...che errore stupido 
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