Integrale

[evie-votailprof]

integrale definito tra zero e 1/4 della seguente funzione:

$(x+3sqrtx)/(1-sqrtx)dx$

potete aiutarmi ?

[cozzataddeo]

Prova con la sostituzione
$t=sqrtx$
e ricordati di cambiare anche gli estremi di integrazione...

[evie-votailprof]

ho fatto quella sostituzione ma nn so andare avanti nè so come cambiare gli estremi..è da poco che approccio con gli integrali...Non sono tanto esperta...ho bisogno di seguire lentamente..

[Camillo]

*Cambio limiti di integrazione

la sostituzione è $t = sqrt(x) $ quindi se $ x=1/4$ , allora $ t= 1/2 $ ; se $x=0 $ allora $t=0 $ .
I limiti di integrazione nella variabile $ t $ sono $ 0 ; 1/2 $ .

*Funzione integranda nella variabile $t $ :
essndo $ t = sqrt(x) $ sarà : $x = t^2 $ e quindi $dx = 2t*dt $
la funzione integranda diventa allora $ (3t+t^2)*2t*dt/(1-t ) $

* L'integrale diventa allora :
$int_0^(1/2) 2(t^3+3t^2)*dt/(1-t) $ non difficile da integrare , il grado del polinoimio al numeratore è > di quello del denominatore e quindi...

Edit : corretto errore , aggiunto $ t $ al numeratore.

[evie-votailprof]

quest'integrale è stato ricavato da questo problema:

disegnare il grafico della funzione : $y=(x+3sqrtx)/(1-sqrtx)$
e calcolare l'Area della regione piana limitata dall'asse x e dalle rette $x=0$ e $x=1/4$

io ho risolto quell'integrale con quella sostituzione ma mi viene 61/12e invece dovrebbe venire $-61/12+8log2$

forse ho sbagliato nel considerare quell'integrale come risoluzione?o cosa?
grazie per il vostro aiuto.

[MaMo2]

L'integrale diventa (Camillo si è dimenticato una t):

$2 int_0^(1/2) t^2((t+3)/(1-t)) dt$

Dividendo numeratore per denominatore si ha:

$2 int_0^(1/2) -t^2-4t-4+4/(1-t) dt$

Integrando si ottiene:

$2|-t^3/3-2t^2-4t-4ln(1-t)|_0^(1/2)$

Inserendo i valori degli estremi si trova $2(-1/24-1/2-2+4ln2)=-61/12+8ln2$.

[Camillo]

Grazie MaMo per la segnalazione : errore corretto.