Integrale (31034)

[adry105]

Un piccolo aiutino.. Ho questo integrale: integrale di (x^2+1)^1/2 dx.... in teoria la posizione che la prof. ci ha consigliato di fare (o ho scritto male io, boh) è di porre (x^2+1)^1/2=t-x ... Uhm ho provato a farlo, ma forse sbaglio qualcosa... mi rimangono termini in x nell'integrale quando sostituisco.. uhm

[the.track]

Dunque l'integrale se ho capito bene è questo:

[math]\int \left( x^2+1 \right) ^{\frac{1}{2}}\;dx[/math]

Direi di sostituire:

[math]x^2+1=t[/math]

Otteniamo:

[math]x^2=t-1[/math]

[math]x=\pm \sqrt{t-1}[/math]

[math]dx=\pm \frac{1}{2\sqrt{t-1}}\; dt[/math]

Sostituendo abbiamo:

[math]\pm \int t^{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{t-1}}\; dt[/math]

Ecco a te la sostituzione. Prova ad andare avanti te. Se hai dubbi chiedi pure. ;)

[adry105]

Si.. come si dovrebbe continuare scusa? =)

[the.track]

Per parti. Consideri:

[math]f'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t-1}}[/math]

[math]g(t)=t^{\frac{1}{2}}[/math]

Applica la formula:

[math]\int f'(x)g(x)\; dx = f(x)g(x)-\int f(x)g'(x) \;dx[/math]

Otteniamo:

[math]\int t^{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{t-1}} \; dt= \pm \sqrt{t-1}\cdot t^{\frac{1}{2}} \mp \int \frac{1}{2\sqrt{t}}\cdot \sqrt{t-1} \;dt[/math]

A questo punto concentriamoci sull'integrale:

[math]\int \frac{1}{2\sqrt{t}}\cdot \sqrt{t-1} \;dt[/math]

Dopo vado avanti. Mi pare abbastanza casinoso come integrale.

[adry105]

Ma mi sa che così non vai da nessuna parte, torni punto e a capo uhm boh =) Comunque grazie =)

[ciampax]

Le sostituzioni possibili sono due:

1) la più veloce: poni

[math]x=\sinh t[/math]

(il seno iperbolico) da cui

[math]\sqrt{x^2+1}=\sqrt{\sin^2 t+1}=\cosh t[/math]

,

[math]dx=\cosh t[/math]

e quindi

[math]\int\sqrt{x^2+1}\ dx=\int\cosh^2 t\ dt=\frac{1}{2}\int(1+\cosh 2t)\ dt=\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{2}\sinh 2t\right)[/math]

da cui utilizzando il fatto che

[math]t=\log(x+\sqrt{x^2+1}),\quad \cosh t=\sqrt{1+x^2},\quad \sinh 2t=2\sinh t\cosh t[/math]

ottieni

[math]\int\sqrt{x^2+1}\ dx=\frac{1}{2}\left[\log(x+\sqrt{x^2+1})+x\sqrt{x^2+1}\right]+c.[/math]

2) la via più lunga, quella suggerita dalla tua professoressa, probabilmente perché non ha spiegato le funzioni iperboliche: poni

[math]\sqrt{x^2+1}=t+x[/math]

da cui

[math]x^2+1=t^2+2xt+x^2[/math]

e quindi

[math]x=\frac{1-t^2}{2t}[/math]

.

Questo permette di scrivere

[math]\sqrt{x^2+1}=t+\frac{1-t^2}{2t}=\frac{t^2+1}{2t}[/math]

e

[math]dx=\frac{-2t\cdot 2t-2(1-t^2)}{4t^2}\ dt=-\frac{t^2+1}{2t^2}\ dt[/math]

.

L'integrale diviene allora

[math]\int\frac{t^2+1}{2t}\cdot\left(-\frac{t^2+1}{2t^2}\right)\ dt=
-\int\frac{(t^2+1)^2}{4t^3}\ dt=-\frac{1}{4}\int\frac{t^4+2t^2+1}{t^3}\ dt=-\frac{1}{4}\int\left(t+\frac{2}{t}+\frac{1}{t^3}\right)\ dt[/math]

da cui

[math]-\frac{1}{4}\left(t^2/2+2\log|t|-1/(2t^2)\right)=-\frac{1}{8}(t^2-1/t^2)-\frac{1}{2}\log|t|.[/math]

Ora

[math]t^2=2x^2+1-2x\sqrt{x^2+1},\qquad\frac{1}{t^2}=2x^2+1+2x\sqrt{x^2+1}[/math]

[math]\log|t|=\log(\sqrt{x^2-1}-x)=-\log(x+\sqrt{x^2+1})[/math]

da cui

[math]\int\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2}\left(\log(x+\sqrt{x^2+1})+x\sqrt{x^2+1}\right),[/math]

come prima.

[adry105]

Uhhhh grazie mille!! Comunque la prima soluzione è più facile =) anzi una cosa, se avessi un integrale uguale però al posto di x^2 avessi 4x^2... la posione con il seno come la faccio=?

[ciampax]

In generale, se hai

[math]a x^2+b^2[/math]

sotto una radice, poni

[math]x=\frac{b}{\sqrt{a}}\sinh t[/math]

[adry105]

grazie =9 anche se il seno iperbolico non l'abbiamo fatto, almeno ora io so una cosa nuova =)