Integrale

[abacab84]

Potreste darmi la risoluzione di quest'integrale definito:

la funzione da integrare è

(e^x+e^2x)/(1+e^x+e^2x)

calcolata tra 1 e o

[fireball1]

[goblyn]

t=e^x

x=ln(t)

dx=dt/t

Sostituiamo:

(t+t^2)/(1+t+t^2) * dt/t =

= (1+t)/(1+t+t^2) dt =

= (1/2) * (2+2t)/(1+t+t^2) dt =

= (1/2) * (1+2t + 1)/(1+t+t^2) dt =

= (1/2) *[ (1+2t)/(1+t+t^2) +1/(1+t+t^2)] dt

La parte in rosso integrata (compreso l'(1/2)) fa:

(1/2)log(1+t+t^2) = (1/2)log(1+e^x+e^(2x))

Rimane la parte verde.

Osserviamo che:

1+t+t^2 = 3/4 + (t+1/2)^2 = (3/4) * [ 1 + ((sqrt(3)/2)*(t+1/2))^2 ]

Conviene fare la sostituzione:

q = (sqrt(3)/2)*(t+1/2)

t = (2/sqrt(3))q - (1/2)

dt = (2/sqrt(3))dq

Sostituendo nell'espressione in verde (comprendendo l'1/2):

(1/2)(4/3)(2/sqrt(3)) * 1/(1+q^2) dq =

= 4/(3*sqrt(3)) * arctg(q) =

= 4/(3*sqrt(3)) * arctg( (sqrt(3)/2)*(t+1/2) ) =

= 4/(3*sqrt(3)) * arctg( (sqrt(3)/2)*(e^x + 1/2) )

Quindi l'integrale indefinito è:

F(x) = (1/2)log(1+e^x+e^(2x)) + 4/(3*sqrt(3)) * arctg( (sqrt(3)/2)*(e^x + 1/2) ) + C

Ora basta sostituire gli estremi. Il risultato numerico mi viene un po' diverso da quello di fireball. Controlla i conti... il procedimento è comunque ok.


Modificato da - goblyn il 03/01/2004 17:00:14

[fireball1]

Hai ragione goblyn, ho sbagliato a trascrivere il risultato. Ora dovrebbe essere a posto.

[goblyn]

No ma io dicevo di controllare i miei di conti...