Integrale
$inte^(-x)(e^x-1)^(1/2)dx$
sostituisco $e^x=t$ cioè $x=logt$ ; $dx=1/tdt$
$int1/t(t-1)^(1/2)(1/t)dt$
$int1/t^2(t-1)^(1/2)dt$
$1/t^2(2/2)(t-1)^(3/2)-intt(t-1)^(3/2)dt$
$1/t^2(2/2)(t-1)^(3/2)+4/3(t(1/2)(t-1)^(5/2))-int1(1/2)(t-1)^(5/2)dt$
$1/t^2(2/2)(t-1)^(3/2)+4/3(t(1/2)(t-1)^(5/2)-1/7(t-1)^(7/2)+c$
buonasera, ho scritto questo integrale, non lo so se è giusto quando volete, se avete voglia potete dargli un occhio.
Grazie
Cordiali saluti
sostituisco $e^x=t$ cioè $x=logt$ ; $dx=1/tdt$
$int1/t(t-1)^(1/2)(1/t)dt$
$int1/t^2(t-1)^(1/2)dt$
$1/t^2(2/2)(t-1)^(3/2)-intt(t-1)^(3/2)dt$
$1/t^2(2/2)(t-1)^(3/2)+4/3(t(1/2)(t-1)^(5/2))-int1(1/2)(t-1)^(5/2)dt$
$1/t^2(2/2)(t-1)^(3/2)+4/3(t(1/2)(t-1)^(5/2)-1/7(t-1)^(7/2)+c$
buonasera, ho scritto questo integrale, non lo so se è giusto quando volete, se avete voglia potete dargli un occhio.
Grazie
Cordiali saluti
Risposte
mi sembra sbagliato quando integri per parti
secondo me sarebbe al terzo passaggio
$ 1/(t^2) (2/3) (t-1)^(3/2) + (4/3) int (t-1)^(3/2)/t^3 dt$
oppure che è meglio (cambiando fattore da integrare e fattore da derivare)
$ -1/t (sqrt(t-1)) + int 1/(2t sqrt(t-1)) dt $
più semplice da risolvere
Ma controlla i calcoli...
ma la domanda sorge spontanea... se integri per parti perchè fai la sostituzione con la variabile t all'inizio?? tanto valeva proseguire con la variabile x...
facendo da subito per parti verrebbe infatti
$ - sqrt(e^x -1) e^(-x) + 1/2 int (e^x -1)^(-1/2) dx $
e poi vai avanti da solo adesso con la bellissima sostituzione
$e^x -1 = t^2$
Il risultato dovrebbe essere a meno di errori di calcolo
$ - sqrt(e^x -1) e^(-x) + arctg (sqrt(e^x-1)) $
ciao!
secondo me sarebbe al terzo passaggio
$ 1/(t^2) (2/3) (t-1)^(3/2) + (4/3) int (t-1)^(3/2)/t^3 dt$
oppure che è meglio (cambiando fattore da integrare e fattore da derivare)
$ -1/t (sqrt(t-1)) + int 1/(2t sqrt(t-1)) dt $
più semplice da risolvere
Ma controlla i calcoli...
ma la domanda sorge spontanea... se integri per parti perchè fai la sostituzione con la variabile t all'inizio?? tanto valeva proseguire con la variabile x...
facendo da subito per parti verrebbe infatti
$ - sqrt(e^x -1) e^(-x) + 1/2 int (e^x -1)^(-1/2) dx $
e poi vai avanti da solo adesso con la bellissima sostituzione
$e^x -1 = t^2$
Il risultato dovrebbe essere a meno di errori di calcolo
$ - sqrt(e^x -1) e^(-x) + arctg (sqrt(e^x-1)) $
ciao!
Ciao, scusa il disturbo, allora ho rifatto l'esercizio facendo la sostituzione $t=e^x-1$ cioè $x=log(t+1)$ , $dx=1/(t+1)dt$
A dire il vero solo all'ultimo mi accorsi che tu mi avevi detto di sostituire $t^2$ infatti mi stavo ammazzando, ,ma ho continuato lo stesso arrivato a quel punto con laa mia sostituzione:
Allora, io non ho capito come esce l'arcotangente in questo caso, a me viene cosi:
$(e^x-1)^(1/2)(-e^(-x))+1/2int(e^x-1)^(1/2)$
e fino qua ci viene uguale....ora sostituisco quello che ho scritto prima:
$1/2intt^(-1/2)/(t+1)dt$
ora sottraggo e sommo $+t-t$ per semplificare e spaccare in 2 l'integrla:
$1/2int(1+t)/(t^(1/2)(t+1))+(-t)/(t^(1/2)(t+1))dt$
semplifico $(t+1)/(t+1)$
$1/2(intt^(-1/2)dt+(-t)/(t^(1/2)(t+1)))dt$
$1/2(2/3t^(3/2)+v$
ho messo la $v$ per indicare che questa $v$ adesso la integro per parti:
$F=(1/(t+1))$.....$F'=-1$....$G=2/3t^(3/2)$......$G'=t^(1/2)$
quindi riprendendo il passaggio di prima sarebbe
$1/2(2/3t^(3/2)-2t^(3/2)(1/(3t+3)+4/15t^(5/2)$
A dire il vero solo all'ultimo mi accorsi che tu mi avevi detto di sostituire $t^2$ infatti mi stavo ammazzando, ,ma ho continuato lo stesso arrivato a quel punto con laa mia sostituzione:
Allora, io non ho capito come esce l'arcotangente in questo caso, a me viene cosi:
$(e^x-1)^(1/2)(-e^(-x))+1/2int(e^x-1)^(1/2)$
e fino qua ci viene uguale....ora sostituisco quello che ho scritto prima:
$1/2intt^(-1/2)/(t+1)dt$
ora sottraggo e sommo $+t-t$ per semplificare e spaccare in 2 l'integrla:
$1/2int(1+t)/(t^(1/2)(t+1))+(-t)/(t^(1/2)(t+1))dt$
semplifico $(t+1)/(t+1)$
$1/2(intt^(-1/2)dt+(-t)/(t^(1/2)(t+1)))dt$
$1/2(2/3t^(3/2)+v$
ho messo la $v$ per indicare che questa $v$ adesso la integro per parti:
$F=(1/(t+1))$.....$F'=-1$....$G=2/3t^(3/2)$......$G'=t^(1/2)$
quindi riprendendo il passaggio di prima sarebbe
$1/2(2/3t^(3/2)-2t^(3/2)(1/(3t+3)+4/15t^(5/2)$
noooooooooooooo, mi sono accorto adesso che ho sbagliato l'ultima integralzione! $F=(1/(t+1))$....$F'=(-1)/(t+1)^2$.....$G=1/2t^2$......$G'=t$
Si ok ma che cos'è infinito quest'integrale?!ma non è possibile che sia cosi lungo, non credo che nel nostro esame ci possano essere integrali troppo lunghi, forse sono andato a pescarlo da qualche sito di qualche facolta dove fanno delle cose un po troppo diverse, questo mi sembra troppo lungo. Bo voi che dite?
Si ok ma che cos'è infinito quest'integrale?!ma non è possibile che sia cosi lungo, non credo che nel nostro esame ci possano essere integrali troppo lunghi, forse sono andato a pescarlo da qualche sito di qualche facolta dove fanno delle cose un po troppo diverse, questo mi sembra troppo lungo. Bo voi che dite?
Se prendi la via giusta non è lungo. Io farei subito la "bellissima sostituzione" di mazzarri
$(e^x-1)^(1/2)=t->e^x=t^2+1->x=log(t^2+1)->dx=(2t)/(t^2+1)dt$
e l'integrale diventa
$int1/(t^2+1)*t*(2t)/(t^2+1)dt=int(2t)/(t^2+1)^2*t*dt$
A questo punto faccio l'integrazione per parti prendendo come fattor differenziale la frazione, che è la derivata di $-1/(t^2+1)$; il resto è facile e veloce. Il risultato è proprio quello dato da mazzarri ed il mio ragionamento è sostanzialmente uguale al suo.
$(e^x-1)^(1/2)=t->e^x=t^2+1->x=log(t^2+1)->dx=(2t)/(t^2+1)dt$
e l'integrale diventa
$int1/(t^2+1)*t*(2t)/(t^2+1)dt=int(2t)/(t^2+1)^2*t*dt$
A questo punto faccio l'integrazione per parti prendendo come fattor differenziale la frazione, che è la derivata di $-1/(t^2+1)$; il resto è facile e veloce. Il risultato è proprio quello dato da mazzarri ed il mio ragionamento è sostanzialmente uguale al suo.
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