Integrale
Come faccio a risolvere questo integrale?
1/[e^(x) +1]
1/[e^(x) +1]
Risposte
Dato che la derivata di $log(e^x+1)$ è $(e^x)/(e^x+1)= 1-1/(e^x+1)$,
abbiamo che la derivata di $x-log(e^x+1)$ è $1-[1-1/(e^x+1)]= 1/(e^x+1)$
Dunque la soluzione è $x-log(e^x+1)+c$
abbiamo che la derivata di $x-log(e^x+1)$ è $1-[1-1/(e^x+1)]= 1/(e^x+1)$
Dunque la soluzione è $x-log(e^x+1)+c$
Non ti ho seguito..
Perché l'hai fatto a ritroso?
Perché l'hai fatto a ritroso?
La primitiva di $1/x$ è $log(x)$.
Siccome qui dobbiamo trovare l'integrale di $1/(1+e^x)$, mi sono chiesto se la derivata di $log(e^x+1)$ potesse portare a qualcosa vicino al risultato.
Siccome qui dobbiamo trovare l'integrale di $1/(1+e^x)$, mi sono chiesto se la derivata di $log(e^x+1)$ potesse portare a qualcosa vicino al risultato.
Quindi suppongo che tu abbia fatto lo stesso ragionamento per arrivare a $ x-log(e^x+1) $ ..
Ma cosa ti ha fatto andare da $ e^x/(e^x+1) $ a $ 1-1/(e^x+1) $ ?
Ma cosa ti ha fatto andare da $ e^x/(e^x+1) $ a $ 1-1/(e^x+1) $ ?
Sono passaggi algebrici
\(\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}=\frac{e^x+1-1}{e^x+1}=\frac{e^x+1}{e^x+1}-\frac{1}{e^x+1}=1-\frac{1}{e^x+1}\)
\(\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}=\frac{e^x+1-1}{e^x+1}=\frac{e^x+1}{e^x+1}-\frac{1}{e^x+1}=1-\frac{1}{e^x+1}\)
@ Diplomacy. Il metodo suggerito da Gi8 è certo il più veloce ma capisco che tu ti chieda come ha fatto a pensarci. Ce n'è anche uno più banale: con la sostituzione $u=e^x$ arrivi in pochi passaggi a
$int(du)/(u(u+1))$
che certo sai integrare, ottenendo
$ln|u|-ln|u+1|+c=x-ln(e^x+1)+c$
$int(du)/(u(u+1))$
che certo sai integrare, ottenendo
$ln|u|-ln|u+1|+c=x-ln(e^x+1)+c$
"CaMpIoN":
Sono passaggi algebrici
\(\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}=\frac{e^x+1-1}{e^x+1}=\frac{e^x+1}{e^x+1}-\frac{1}{e^x+1}=1-\frac{1}{e^x+1}\)
Sisi che siano passaggi algebrici l'ho capito, quello che non mi viene "naturale" fare di fronte ad un integrale come questo è, come giustamente detto da giammaria, il ragionamento per arrivare a fare questi passaggi algebrici.
Ma se sotto ho $ u(u+1) $ , non dovrei risolverlo per parti? Oppure semplicemente $ int 1/[u(u+1)] du $ diventa $ ln|u| - ln|u+1| +c $ ?
Penso che l'integrale abbia quel risultato non per definizione, ma proprio per un'operazione da applicare, l'ho intuisco dal fatto che giammaria dice "che certo sai integrare", prova con l'integrazione per parti magari ti esce quel risultato.
Onestamente per parti non mi esce.
Usiamo questa formula a scuola: $ int f(x)g(x)dx = f(x)intg(x)dx - int[f'(x) int g(x)dx]dx $
E la risoluzione di quello ottenuto con la sostituzione, mi esce così:
$ 1/uint1/(u+1)du - int[-1/(u^2) int 1/(u+1)du]du $
$ =1/u ln|u+1| + int1/u^2 ln|u+1| du $
Però se risolvo ancora per parti adesso, esce solo che un casino
Usiamo questa formula a scuola: $ int f(x)g(x)dx = f(x)intg(x)dx - int[f'(x) int g(x)dx]dx $
E la risoluzione di quello ottenuto con la sostituzione, mi esce così:
$ 1/uint1/(u+1)du - int[-1/(u^2) int 1/(u+1)du]du $
$ =1/u ln|u+1| + int1/u^2 ln|u+1| du $
Però se risolvo ancora per parti adesso, esce solo che un casino
Ciao,
più che per parti io proverei con la scomposizione in fratti semplici, cioè trovare $A$ e $B$ tali che \[\frac{1}{u(u+1)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{u+1}\]
PS. $3000$ messaggi!
più che per parti io proverei con la scomposizione in fratti semplici, cioè trovare $A$ e $B$ tali che \[\frac{1}{u(u+1)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{u+1}\]
PS. $3000$ messaggi!
Non l'abbiamo fatto in classe quello li (scomposizione in fratti semplici). Mi sa che li facciamo un po' superficialmente a scuola
Congratulazioni per i 3000 messaggi!
Congratulazioni per i 3000 messaggi!
Forse lo dovete ancora fare, perché è una delle tecniche fondamentali per la risoluzione di alcuni tipi di integrali.
PS. Grazie!
PS. Grazie!
Domani abbiamo la verifica. Quindi mi sa che non lo faremo mai..
Ecco:
\(\displaystyle \frac{1}{u(u+1)}=\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1} \)
Ora la soluzione è immediata.
\(\displaystyle \frac{1}{u(u+1)}=\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1} \)
Ora la soluzione è immediata.
Che stupido che sono.. Ho capito tutto, grazie mille!
Ecco, quella era esattamente la scomposizione in fratti semplici. Forse l'avete chiamata in un altro modo... 
"minomic":
Ecco, quella era esattamente la scomposizione in fratti semplici. Forse l'avete chiamata in un altro modo...
Nono, non l'abbiamo proprio mai fatto così. Ho solo riguardato il primo metodo che mi avete suggerito per farlo.. Non so perché ieri non l'avevo capito, ma era abbastanza banale
Grazie ancora a tutti
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