$intarctansqrtx$
Buonasera, scusate ho questo esercizio $intarctansqrtx$, non riesco a farlo...
Allora sostituisco $v=sqrtx$, cioè $v^2=x$,$dx=2dv$
$intarctanv$
$F=arctanv$.....$F'=1/(v^2+1)$....$G=v$....$G'=1$
ricavo
$varctanv-2(intv/(v^2+1))dv$
$varctanv-2(int(v+1-1)/((v+1)(v-1))-1/((v+1)(v-1))dv$
elido $v+1$
$varcatnv-2(intlog|v-1|-1/((v+1)(v-1)))dv$
poi prendo l'ultimo integrale che sarebbe $1/(v^2-1)$ e faccio:
$a/(v+1)+b/(v-1)$
faccio il denominatore comune e ricavo a e b.
$(av-a+bv+b)/((v+1)(v-1))$
$1/2=b$
$-1/2=a$
$int-(1/2)/(v+1)+int(1/2)/(v-1)$
dovrebbero venire 2 logaritmi ma nel risultato non ci sono....qualcuno sa dirmi dov'è lo sbaglio?
Grazie
Cordiali saluti
Allora sostituisco $v=sqrtx$, cioè $v^2=x$,$dx=2dv$
$intarctanv$
$F=arctanv$.....$F'=1/(v^2+1)$....$G=v$....$G'=1$
ricavo
$varctanv-2(intv/(v^2+1))dv$
$varctanv-2(int(v+1-1)/((v+1)(v-1))-1/((v+1)(v-1))dv$
elido $v+1$
$varcatnv-2(intlog|v-1|-1/((v+1)(v-1)))dv$
poi prendo l'ultimo integrale che sarebbe $1/(v^2-1)$ e faccio:
$a/(v+1)+b/(v-1)$
faccio il denominatore comune e ricavo a e b.
$(av-a+bv+b)/((v+1)(v-1))$
$1/2=b$
$-1/2=a$
$int-(1/2)/(v+1)+int(1/2)/(v-1)$
dovrebbero venire 2 logaritmi ma nel risultato non ci sono....qualcuno sa dirmi dov'è lo sbaglio?
Grazie
Cordiali saluti
Risposte
Ciao, c'è un errore subito nella sostituzione:
\[
\sqrt{x} = v \quad\Rightarrow\quad x = v^2 \quad\Rightarrow\quad dx = 2v\ dv
\] Quindi l'integrale diventa
\[
2\int{v\cdot\arctan v\ dv}
\] che si integra per parti. In particolare hai
\[
2\left[\arctan v\cdot \frac{v^2}{2}-\int{\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{1+v^2}\ dv}\right]
\] e ora è facile.
\[
\sqrt{x} = v \quad\Rightarrow\quad x = v^2 \quad\Rightarrow\quad dx = 2v\ dv
\] Quindi l'integrale diventa
\[
2\int{v\cdot\arctan v\ dv}
\] che si integra per parti. In particolare hai
\[
2\left[\arctan v\cdot \frac{v^2}{2}-\int{\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{1+v^2}\ dv}\right]
\] e ora è facile.
cioè avevo dimenticato di derivare la $v$?! no ma cavolo questa è l'apoteosi dei miei errori, ho messo come derivata di $v^2=2$ anziche $2v$... 
, poi lo riscrivo per bene sul sito
, poi lo riscrivo per bene sul sito
Sì esatto, l'errore di partenza era proprio quello.
Non ho capito niente lo stesso...perchè l'integrale diventa $intvarctanv(2vdv)$ e non $intarctanv(2vdv)$?
Veramente io avevo scritto \(2\int{v\cdot\arctan v\ dv}\) cioè la seconda che hai postato.
SI scusa....adesso è venuto, solo che adesso ho un altro che non mi viene, ci riprovo, al massimo se proprio non viene pubblico anche quello. Grazie Ciao!
Ok, se non riesci posta pure che vediamo.
bo non lo so perchè non mi viene:
$int(x+2)logxdx$
sostituisco $x+2=t$,cioè $x=t-2$,$dx=dt$
$inttlog(t-2)dt$
uso la formula $intFG'=FG-intF'G$
$F=log(t-1)$......$F'=1/(t-2)$---$G01/2t^2$-----$G'=t$
$log(t-2)(t)-int1/(t-2)(1/2)t^2dt$
$log(t-2)(t)-1/2int((t^2-4+4))/(t-2)$
$log(t-2)(t)-1/2int((t+2)(t-2))/(t-2)+4int1/(t-2)dt$
$log(t-2)(t)-1/2(intt+int2+4log|t-2|)$
$log(t-2)(t)-1/4t^2+1/2t+2log|t-2|$
$logx(x+2)-1/4(x+2)^2+1/2(x+2)+2logx$
$int(x+2)logxdx$
sostituisco $x+2=t$,cioè $x=t-2$,$dx=dt$
$inttlog(t-2)dt$
uso la formula $intFG'=FG-intF'G$
$F=log(t-1)$......$F'=1/(t-2)$---$G01/2t^2$-----$G'=t$
$log(t-2)(t)-int1/(t-2)(1/2)t^2dt$
$log(t-2)(t)-1/2int((t^2-4+4))/(t-2)$
$log(t-2)(t)-1/2int((t+2)(t-2))/(t-2)+4int1/(t-2)dt$
$log(t-2)(t)-1/2(intt+int2+4log|t-2|)$
$log(t-2)(t)-1/4t^2+1/2t+2log|t-2|$
$logx(x+2)-1/4(x+2)^2+1/2(x+2)+2logx$
"ramarro":
bo non lo so perchè non mi viene:
$ int(x+2)logxdx $
sostituisco $ x+2=t $,cioè $ x=t-2 $,$ dx=dt $
$ inttlog(t-2)dt $
uso la formula $ intFG'=FG-intF'G $
$ F=log(t-1) $......$ F'=1/(t-2) $---$ G01/2t^2 $-----$ G'=t $
$ log(t-2)(t)-int1/(t-2)(1/2)t^2dt $
Stai attento, è
$t^2/2log(t-2)-int(t^2/2)1/(t-2)dt$
Poi attento quando elimini le parentesi, il penultimo rigo dovrebbe essere:
$ 1/2t^2log(t-2)-1/4t^2-t-2log(t-2)+c$
per il resto puoi continuare. Ma ...
devi proprio usare la sostituzione? Senza fai prima
$(x^2/2+2x)logx-int(x^2/2+2x)1/xdx$
che si risolve facilmente.
Grazie, si forse la sostituzione non la dovevo fare, però il risultato continua a non venire...scrivo di seguito i passaggi fatti con e senza sostituzione
SOSTITUZIONE
si ricava
$log(t-2)(1/2t^2)-1/4t^2-t-2log|t-2|$
$logx(1/2(x+2)^2)-1/4(x+2)^2-(x+2)-2loogx$
SENZA
$logx(1/2log(x+2)^2)-1/2(int(x^2+2x+4)/x)$
$logx(1/2log(x+2)^2)-1/2(intx+int2+int4/x)$
$logx(1/2(x+2)^2)-1/2(1/2x^2)+2x+4logx$
il risultato però è $1/2x^2logx-1/4x^2+2xlogx-2x$
Bo non lo so, mi fa arrabbiare perchè io il metodo per fare gli integrali li so, ormai quelli previsti dal mio programma li dovrei saper fare tutti poi però sono cosi incartato che sbaglio perchè perdo i pezzi di integrale oppure scrivo 2 alo posto di 3...ma porco cane.
SOSTITUZIONE
si ricava
$log(t-2)(1/2t^2)-1/4t^2-t-2log|t-2|$
$logx(1/2(x+2)^2)-1/4(x+2)^2-(x+2)-2loogx$
SENZA
$logx(1/2log(x+2)^2)-1/2(int(x^2+2x+4)/x)$
$logx(1/2log(x+2)^2)-1/2(intx+int2+int4/x)$
$logx(1/2(x+2)^2)-1/2(1/2x^2)+2x+4logx$
il risultato però è $1/2x^2logx-1/4x^2+2xlogx-2x$
Bo non lo so, mi fa arrabbiare perchè io il metodo per fare gli integrali li so, ormai quelli previsti dal mio programma li dovrei saper fare tutti poi però sono cosi incartato che sbaglio perchè perdo i pezzi di integrale oppure scrivo 2 alo posto di 3...ma porco cane.
"ramarro":
Grazie, si forse la sostituzione non la dovevo fare, però il risultato continua a non venire...scrivo di seguito i passaggi fatti con e senza sostituzione
SOSTITUZIONE
si ricava
$ log(t-2)(1/2t^2)-1/4t^2-t-2log|t-2| $
$ logx(1/2(x+2)^2)-1/4(x+2)^2-(x+2)-2loogx $
Se sviluppi il quadrato di binomio, riduci termini simili, ecc. trovi lo stesso isultato che hai ottenuto senza la sostituzione. Unica differenza un $-4$ che non crea problemi in quanto è una costante. Quando scriverai il $+c$ nella soluzione puoi fare a meno di scrivere quel $-4$ perchè sarà contenuto nella costante $c$.
Ok ora ho capito grazie
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