$int1+tg^6x $ $dx$
Ho provato con varie sostituzioni, ho provato con denominatore comune e anche per parti, ma non arrivo da nessuna parte utile.
Dove mi perdo?
Dove mi perdo?
Risposte
Ciao
Sinceramente non capisco perché parli di integrali per parti
hai l'integrale di una somma, che lo puoi dividere come somma di integrali, quindi
[tex]\int 1+ tg^{6}x dx = \int 1dx + \int tg^{6}x dx[/tex]
L'integrale di sinistra é banale
quello di destra lo risolvi usando la regola
[tex]\int tg^{n} x dx = \frac{1}{n-1} \int tg^{n-1} x dx - \int tg^{n-2} x dx[/tex]
ovviamente quando $n \ne 1$
Sinceramente non capisco perché parli di integrali per parti
hai l'integrale di una somma, che lo puoi dividere come somma di integrali, quindi
[tex]\int 1+ tg^{6}x dx = \int 1dx + \int tg^{6}x dx[/tex]
L'integrale di sinistra é banale
quello di destra lo risolvi usando la regola
[tex]\int tg^{n} x dx = \frac{1}{n-1} \int tg^{n-1} x dx - \int tg^{n-2} x dx[/tex]
ovviamente quando $n \ne 1$
"Summerwind78":
quello di destra lo risolvi usando la regola
[tex]\int tg^{n} x dx = \frac{1}{n-1} \int tg^{n-1} x dx - \int tg^{n-2} x dx[/tex]
ovviamente quando $n \ne 1$
Non ho mai visto questa regola, che regola sarebbe?
la trovi anche su wikipedia nelle tabelle degli integrali trigonometrici
Si ho trovato proprio ora, non sapevo neanche esistesse. Grazie!
E ipotizzando di non volerla usare? Ci sono altre strade?
sinceramente non me ne vengono in mente altre, ma prova a vedere se qualcuno ha un'idea migliore da suggerirti
Ricordo due formule elementari :
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$D(tgx)=1/{cos^2x}=1+tg^2x$ (D=derivata)
Pertanto :
$int(1+tg^6x)dx=int[1^3+(tg^2x)^3]dx=int(1+tg^2x)(1-tg^2x+tg^4x)dx=int(1-tg^2x+tg^4x)d (tgx) $
Quindi :
$int(1+tg^6x)dx=tgx-1/3tg^3x+1/5tg^5x+C$
[xdom="@melia"]Ho eliminato un commento che anche l'autore considerava OT[/xdom]
[ot]:D[/ot]
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$D(tgx)=1/{cos^2x}=1+tg^2x$ (D=derivata)
Pertanto :
$int(1+tg^6x)dx=int[1^3+(tg^2x)^3]dx=int(1+tg^2x)(1-tg^2x+tg^4x)dx=int(1-tg^2x+tg^4x)d (tgx) $
Quindi :
$int(1+tg^6x)dx=tgx-1/3tg^3x+1/5tg^5x+C$
[xdom="@melia"]Ho eliminato un commento che anche l'autore considerava OT[/xdom]
[ot]:D
[/ot]
Come ha detto ciromario, ricordiamo che $D(tan(x))=\frac{1}{cos^2(x)}$
$\int (1+tan^6(x))dx= \int dx+\int tan^6(x)dx$
e fin qui ok.
Appuriamo il fatto che il difficile è il secondo ma con un po' di fortuna
$\int tan^6(x) dx= \int (tan^4(x) tan^2(x))dx= \int tan^4(x)\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}dx=\int tan^4(x) \frac{1-cos^2(x)}{cos^2(x)}dx$
$= \int \frac{tan^4(x)}{cos^2(x)}dx-\int tan^4(x)dx$
Il primo è della forma $f^n(x)f'(x)$ che ora dovresti risolvere e che quindi lascio a te.
Per il secondo - non considero quel meno davanti, perché vado avanti a titolo illustrativo - basta iterare la procedura
$\int \frac{tan^2(x)sin^2(x)}{cos^2(x)}dx=\int \frac{tan^2(x)(1-cos^2(x))}{cos^2(x)}dx=\int \frac{tan^2(x)}{cos^2(x)}dx-\int tan^2(x)dx$
Il primo è di nuovo nella forma $f^n(x)f'(x)$ mentre il secondo se aggiungi e sottrai 1 puoi ricordare che la derivata della tangente, oltre ad essere quella che ciromario ha ricordato prima (e che ho riportato) è anche $1+tan^2(x)$.
$\int (1+tan^6(x))dx= \int dx+\int tan^6(x)dx$
e fin qui ok.
Appuriamo il fatto che il difficile è il secondo ma con un po' di fortuna
$\int tan^6(x) dx= \int (tan^4(x) tan^2(x))dx= \int tan^4(x)\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}dx=\int tan^4(x) \frac{1-cos^2(x)}{cos^2(x)}dx$
$= \int \frac{tan^4(x)}{cos^2(x)}dx-\int tan^4(x)dx$
Il primo è della forma $f^n(x)f'(x)$ che ora dovresti risolvere e che quindi lascio a te.
Per il secondo - non considero quel meno davanti, perché vado avanti a titolo illustrativo - basta iterare la procedura
$\int \frac{tan^2(x)sin^2(x)}{cos^2(x)}dx=\int \frac{tan^2(x)(1-cos^2(x))}{cos^2(x)}dx=\int \frac{tan^2(x)}{cos^2(x)}dx-\int tan^2(x)dx$
Il primo è di nuovo nella forma $f^n(x)f'(x)$ mentre il secondo se aggiungi e sottrai 1 puoi ricordare che la derivata della tangente, oltre ad essere quella che ciromario ha ricordato prima (e che ho riportato) è anche $1+tan^2(x)$.
Grazie a tutti per le risposte, in particolare il procedimento di ciromario mi sembra il più veloce e intuitivo.
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